Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，1），且f（

1

3

）=1，對?x，y∈（0，1），都有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

3

，a_n+1=

2an

1+ a 2 n

（Ⅰ）證明：?n∈N^*，

1

3

≤a_n＜1；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=f（a_n），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)A_n=

1

n

n

i=1

ai，證明：當(dāng)n≥2時(shí)，|

n

k=1

a_k-

n

k=1

A_k|＜

2(n-1)

3

．（其中符號

n

i=1

a_i=a₁+a₂+…+a_n）

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,數(shù)列與不等式的綜合

專題：證明題,綜合題

分析：（Ⅰ）先說明a_n＞0且a_n≠1，再由條件說明a_n＜1，再根據(jù)a_n+1-a_n化簡說明數(shù)列{a_n}遞增，從而得證；
（Ⅱ）由條件b_n=f（a_n）可得b_n+1=f（a_n+1），又a_n+1=

2an

1+ a 2 n

，f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），可以推出b_n+1=2b_n，從而得出b_n的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知

1

3

≤an＜1，數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，得到任兩項(xiàng)的范圍為（0，

2

3

），然后作差運(yùn)用放縮法推出0＜a_k-A_k＜

2

3

，由于a₁-A₁=0，故原不等式得證．

解答： 解：（Ⅰ）證明：依題意a_n＞0且a_n≠1，
當(dāng)n≥2時(shí)，an=

2an-1

1+ a 2 n-1

＜

2an-1

2an-1

=1，
而a1=

1

3

∈(0，1)，∴0＜a_n＜1
又an+1-an=

2an

1+ a 2 n

-an=

an(1- a 2 n )

1+ a 2 n

＞0
∴a_n+1＞a_n，即數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，
又a1=

1

3

，∴

1

3

≤an＜1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）有a_n∈（0，1），且b_n=f（a_n），
∴bn+1=f(an+1)=f(

2an

1+ a 2 n

)=f(

an+an

1+ a   n • a   n

)=f(an)+f(an)=2f(an)=2bn，
又b₁=f（a₁）=1≠0⇒b_n≠0
∴

bn+1

bn

=2，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，且b₁=1，公比為2，
∴bn=2n-1；
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）知

1

3

≤an＜1，數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，
∴0＜an-am＜

2

3

(n，m∈N*，且n＞m)，
當(dāng)k≥2且k∈N^*時(shí)，ak-Ak=ak-

a1+a2+…+ak

k

=

(ak-a1)+(ak-a2)+…+(ak-ak-1)

k

＜

2(k-1)

3k

＜

2

3

0＜ak-Ak＜

2

3

∵a₁-A₁=0
∴當(dāng)n≥2時(shí)，0＜

n

i=1

ai-

n

i=1

Ai＜

2(n-1)

3

，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，|

n

i=1

ai-

n

i=1

Ai|＜

2(n-1)

3

．

點(diǎn)評：本題是以抽象函數(shù)為載體考查數(shù)列與不等式的證明，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，及作差法和放縮法證明不等式，考查邏輯推理能力，有一定的難度，是一道綜合題．