已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，過右焦點(diǎn)F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，N為弦AB的中點(diǎn)．
（1）求直線ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率KON；
（2）對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M，試證：總存在角θ（θ∈R）使等式：
OM
=cosθ
OA
+sinθ
OB
成立．
分析：（1）設(shè)出橢圓的焦距，利用離心率求得a和c的關(guān)系進(jìn)而求得a和b的關(guān)系，把右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)代入直線AB的方程，利用韋達(dá)定理求得x1+x2的表達(dá)式，進(jìn)而求得ON的斜率．
（2）根據(jù)題意可知
OA
與
OB
可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對(duì)于這一平面內(nèi)的向量
OM
，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ，μ，使得等式
OM
=λ
OA
+μ
OB
成立．設(shè)出M的坐標(biāo)利用1）中各點(diǎn)的坐標(biāo)整理求得x=λx1+μx2，y=λy1+μy2．代入橢圓的方程整理求得λ2（x12+3y12）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2．利用（1）中x1+x2和x1•x2的表達(dá)式代入整理求得x1x2+3y1y2=0，進(jìn)而把A，B的坐標(biāo)代入橢圓的方程，聯(lián)立方程求得λ2+μ2=1，設(shè)以x軸正半軸為始邊，以射線OP為終邊的角為θ，則可推斷出λ=cosθ，μ=sinθ．進(jìn)而判斷出對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M，總存在角θ（θ∈R）使等式：
OM
=cosθ
OA
+sinθ
OB
成立．
解答：解：（1）設(shè)橢圓的焦距為2c，因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
c
a
=
6
3
，
所以有
a2-b2
a2
=
2
3
，故有a2=3b2．從而橢圓C的方程可化為：x2+3y2=3b2①
易知右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（
2
b，0），
據(jù)題意有AB所在的直線方程為：y=x-
2
b②
由①，②有：4x2-6
2
bx+3b2=0③
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中點(diǎn)N（x0，y0），由③及韋達(dá)定理有：x0=
x1+x2
2
=
3
2
b
4
，y0=x0-
2
b=-
2
4
b．
所以KON=
y0
x0
=-
1
3
，即為所求．
（2）顯然
OA
與
OB
可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對(duì)于這一平面內(nèi)的向量
OM
，
有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ，μ，使得等式
OM
=λ
OA
+μ
OB
成立．
設(shè)M（x，y），由1）中各點(diǎn)的坐標(biāo)有：（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），
所以x=λx1+μx2，y=λy1+μy2．
又點(diǎn)在橢圓C上，所以有（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2
整理為λ2（x12+3y12）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2．④
由③有：x1+x2=
3
2
b
2
，x1•x2=
3b2
4
．
所以
x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-
2
b)(x2-
2
b)=4x1x2-3
2
b(x1+x2)+6b2
=3b2-9b2+6b2=0⑤
又A﹑B在橢圓上，故有（x12+3y12）=3b2，（x22+3y22）=3b2⑥
將⑤，⑥代入④可得：λ2+μ2=1．
對(duì)于橢圓上的每一個(gè)點(diǎn)M，總存在一對(duì)實(shí)數(shù)，使等式
OM
=λ
OA
+μ
OB
成立，
而λ2+μ2=1
在直角坐標(biāo)系x-o-y中，取點(diǎn)P（λ，μ），
設(shè)以x軸正半軸為始邊，以射線OP為終邊的角為θ，顯然λ=cosθ，μ=sinθ．
也就是：對(duì)于橢圓C上任意一點(diǎn)M，總存在角θ（θ∈R）使等式：
OM
=cosθ
OA
+sinθ
OB
成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了考生綜合分析問題，基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用以及基本的計(jì)算能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長(zhǎng)為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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