Question

【題目】在四面體中，若，則當(dāng)四面體的體積最大時(shí)其外接球表面積為（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

設(shè)，可知當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，平面平面，計(jì)算出，求出四面體的體積，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值以及對應(yīng)的的值，再利用四面體的結(jié)構(gòu)得出計(jì)算出外接球的半徑，最后利用球體表面積公式可得出結(jié)果.

如下圖，取的中點(diǎn)，連接、，設(shè)，

則，當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，平面平面，

四面體的體積為，.

令，得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)在處取得極大值，亦即最大值.

此時(shí)，，，設(shè)和的外接圓半徑為，由正弦定理得，.

設(shè)、的外接圓圓心分別為、，外接球的球心為點(diǎn)，如下圖所示：

在中，，

四邊形是正方形，且邊長為，

所以，四面體的外接球半徑，

因此，該四面體的外接球表面積為，故選：A.