分析 (1)舉反例,根據(jù)f(-1)≠-f(1),可得f(x)不是奇函數(shù).
(2)根據(jù)f(-x)=-f(x)恒成立,求得a與b的值.
(3)在定義域中任取兩個實數(shù)x1、x2,且x1<x2,求得f(x1)>f(x2),可得函數(shù)f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù).化簡不等式為f(1-m)<f(m2-1),
可得 1-m>m2-1,由此求得原不等式的解集.
解答 解:(1)當a=b=1時,f(x)=−2x+a2x+1+b=1−2x1+2x+1,∴f(1)=−15,f(−1)=14,
所以,f(-1)≠-f(1),∴f(x)不是奇函數(shù).
(2)若f(x)是奇函數(shù)時,f(-x)=-f(x),即 a−2−xb+21−x=-a−2xb+2x+1對定義域內(nèi)任意實數(shù)x成立.
化簡整理得(2a-b)22x+(2ab-4)2x+(2a-b)=0,這是關于x的恒等式,
∴{2a−b=02ab−4=0,∴{a=−1b=−2,或{a=1b=2.
經(jīng)檢驗,{a=1b=2符合題意.
(3)f(x)=−2x+12x+1+2=−12(1−22x+1)=−12+12x+1,
在定義域中任取兩個實數(shù)x1、x2,且x1<x2,則f(x1)−f(x2)=2x2−2x1(2x1+1)(2x2+1),
∵x1<x2,∴0<2x1<2x2,從而f(x1)-f(x2)>0,∴函數(shù)f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù).
∴f(1-m)+f(1-m2)<0,即 f(1-m)<-f(1-m2),∴f(1-m)<f(m2-1),
∴1-m>m2-1,求得-2<m<1,∴原不等式的解集為(-2,1).
點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷和性質(zhì),利用函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{3}{5} | B. | \frac{4}{5} | C. | -\frac{3}{5} | D. | -\frac{4}{5} |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{19}{35} | B. | -\frac{14}{35} | C. | -\frac{18}{35} | D. | -\frac{19}{35} |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (-∞,0] | B. | [0,+∞) | C. | (-2,0] | D. | [0,2) |
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