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13.設f(x)=2x+a2x+1+b(a>0,b>0).
(1)當a=b=1時,證明:f(x)不是奇函數(shù);
(2)設f(x)是奇函數(shù),求a與b的值;
(3)在(2)的條件下,試證明函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并解不等式f(1-m)+f(1+m2)<0.

分析 (1)舉反例,根據(jù)f(-1)≠-f(1),可得f(x)不是奇函數(shù).
(2)根據(jù)f(-x)=-f(x)恒成立,求得a與b的值.
(3)在定義域中任取兩個實數(shù)x1、x2,且x1<x2,求得f(x1)>f(x2),可得函數(shù)f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù).化簡不等式為f(1-m)<f(m2-1),
可得 1-m>m2-1,由此求得原不等式的解集.

解答 解:(1)當a=b=1時,f(x)=2x+a2x+1+b=12x1+2x+1,∴f1=15,f1=14,
所以,f(-1)≠-f(1),∴f(x)不是奇函數(shù).
(2)若f(x)是奇函數(shù)時,f(-x)=-f(x),即 a2xb+21x=-a2xb+2x+1對定義域內(nèi)任意實數(shù)x成立.                       
化簡整理得(2a-b)22x+(2ab-4)2x+(2a-b)=0,這是關于x的恒等式,
{2ab=02ab4=0,∴{a=1b=2,或{a=1b=2
經(jīng)檢驗,{a=1b=2符合題意.     
(3)fx=2x+12x+1+2=12122x+1=12+12x+1,
在定義域中任取兩個實數(shù)x1、x2,且x1<x2,則fx1fx2=2x22x12x1+12x2+1
∵x1<x2,∴02x12x2,從而f(x1)-f(x2)>0,∴函數(shù)f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù).
∴f(1-m)+f(1-m2)<0,即 f(1-m)<-f(1-m2),∴f(1-m)<f(m2-1),
∴1-m>m2-1,求得-2<m<1,∴原不等式的解集為(-2,1).

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷和性質(zhì),利用函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性,屬于中檔題.

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