經(jīng)市場調(diào)查,某旅游城市在過去的一個月內(nèi)(以30天計),日旅游人數(shù)f(t)(萬人)與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足f(t)=4+
1t
,人均消費(fèi)g(t)(元)與時間t(天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足g(t)=115-|t-15|.
(Ⅰ)求該城市的旅游日收益w(t)(萬元)與時間t(1≤t≤30,t∈N)的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)求該城市旅游日收益的最小值(萬元).
分析:(Ⅰ)根據(jù)該城市的旅游日收益=日旅游人數(shù)×人均消費(fèi)的錢數(shù)得w(t)與t的解析式;
(Ⅱ)因為w(t)中有一個絕對值,討論t的取值,1≤t<15和15≤t≤30兩種情況化簡得w(t)為分段函數(shù),第一段運(yùn)用基本不等式求出最值,第二段是一個遞減的一次函數(shù)求出最值比較即可.
解答:解:(Ⅰ)由題意得,w(t)=
(4+
1
t
)(t+100),(1≤t<15,t∈N*)
(4+
1
t
)(130-t),(15≤t≤30,t∈N*)
;
(Ⅱ)因為w(t)=
(4+
1
t
)(t+100),(1≤t<15,t∈N*)
(4+
1
t
)(130-t),(15≤t≤30,t∈N*)
;
①當(dāng)1≤t<15時,w(t)=(4+
1
t
)(t+100)=4(t+
25
t
)+401
≥4×2
25
+401=441

當(dāng)且僅當(dāng)t=
25
t
,即t=5時取等號
②當(dāng)15≤t≤30時,w(t)=(4+
1
t
)(130-t)=519+(
130
t
-4t)
,
可證w(t)在t∈[15,30]上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)t=30時,w(t)取最小值為403
1
3

由于403
1
3
<441
,所以該城市旅游日收益的最小值為403
1
3
萬元.
點評:考查學(xué)生根據(jù)實際情況選擇函數(shù)類型的能力,以及基本不等式在求函數(shù)最值中的應(yīng)用能力.
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1t
,而人均消費(fèi)g(t)(元)近似地滿足g(t)=120-|t-20|.
(1)求該城市的旅游日收益w(t)(萬元)與時間t(1≤t≤30,t∈N)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求該城市旅游日收益的最小值.

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(Ⅰ)求該城市的旅游日收益w(t)(萬元)與時間t(1≤t≤30,t∈N)的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)求該城市旅游日收益的最小值(萬元).

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