Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱長(zhǎng)相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)O是側(cè)面BB₁C₁C的中心，點(diǎn)D為平面BB₁C₁C內(nèi)一點(diǎn)，若AD與平面BB₁C₁C所成的角為60°，則點(diǎn)D可能在下列哪些位置（　�。�

• A、點(diǎn)B和B₁處
• B、點(diǎn)C和C₁處
• C、點(diǎn)O，B₁和C₁處
• D、點(diǎn)O，B和C處

Answer 1

分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是線面夾角，由已知中側(cè)棱垂直于底面，我們過D點(diǎn)做BC的垂線，垂足為E，則DE⊥底面ABC，且E為BC中點(diǎn)，則E為A點(diǎn)在平面BB₁C₁C上投影，則∠ADE即為所求線面夾角，解三角形即可求解．

解答：解：如圖，取BC中點(diǎn)E，連接DE、AE、AD，依題意知三棱柱為正三棱柱，
易得AE⊥平面BB₁C₁C，故∠ADE為AD與平面BB₁C₁C所成的角．
設(shè)各棱長(zhǎng)為1，則AE=

3

2

，又O是側(cè)面BB₁C₁C的中心
OE=

1

2

，tan∠ADE=

AE

OE

=

3 2

1 2

=

3

，
∴∠AOE=60°．即AO與平面BB₁C₁C所成的角為60°，
同理可求得，AB，AC與平面BB₁C₁C所成的角為60°，
故當(dāng)D在點(diǎn)O，B，C處時(shí)AD與平面BB₁C₁C所成的角為60°，
故選D

點(diǎn)評(píng)：求直線和平面所成的角時(shí)，應(yīng)注意的問題是：（1）先判斷直線和平面的位置關(guān)系．（2）當(dāng)直線和平面斜交時(shí)，常用以下步驟：①構(gòu)造--作出或找到斜線與射影所成的角；②設(shè)定--論證所作或找到的角為所求的角；③計(jì)算--常用解三角形的方法求角；④結(jié)論--點(diǎn)明斜線和平面所成的角的值．