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2.如圖,曲線Γ由曲線C1x2a2+y2b2=1(a>b>0,y≤0)和曲線C2x2a2y2b2=1(a>0,b>0,y>0)組成,其中點(diǎn)F1,
F2為曲線C1所在圓錐曲線的焦點(diǎn),點(diǎn)F3,F(xiàn)4為曲線C2所在圓錐曲線的焦點(diǎn),
(Ⅰ)若F2(2,0),F(xiàn)3(-6,0),求曲線Γ的方程;
(Ⅱ)如圖,作直線l平行于曲線C2的漸近線,交曲線C1于點(diǎn)A、B,求證:弦AB的中點(diǎn)M必在曲線C2的另一條漸近線上;
(Ⅲ)對于(Ⅰ)中的曲線Γ,若直線l1過點(diǎn)F4交曲線C1于點(diǎn)C、D,求△CDF1面積的最大值.

分析 (Ⅰ)由F2(2,0),F(xiàn)3(-6,0),可得){a2+2=36a22=4⇒a
(Ⅱ)曲線C2的漸近線為±ax,如圖,設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),設(shè)直線l:y=axm,與橢圓方程聯(lián)立化為2x2-2mx+(m2-a2)=0,利用△>0,根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式,只要證明y0=-ax0即可.
(Ⅲ)設(shè)直線l1的方程為x=ny+6(n>0).與橢圓方程聯(lián)立可得(5+4n2)y2+48ny+64=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出.

解答 解:(Ⅰ)∵F2(2,0),F(xiàn)3(-6,0),∴{a2+2=36a22=4⇒a{a2=202=16
則曲線Γ的方程為x220+y216=1y0x220y216=1(y>0)….(3分)
(Ⅱ)曲線C2的漸近線為y=±ax,如圖,設(shè)直線l:y=axm
{y=axmx2a2+y22=1⇒2x2-2mx+(m2-a2)=0
△=(2m)2-4•2•(m2-a2)=8a2-4m2>0⇒-2am2a
又由數(shù)形結(jié)合知m≥a,am2a
設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)則{x1+x2=mx1x2=m2a22,
x0=x1+x22=m2,y0=ax0m=am2
y0=ax0,即點(diǎn)M在直線y=-ax上.  …(7分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,曲線C1x220+y216=1y0,點(diǎn)F4(6,0).
設(shè)直線l1的方程為x=ny+6(n>0)
{x220+y216=1x=ny+6⇒(4n2+5)y2+48ny+64=0
△=(48n)2-4×64(4n2+5)>0⇒n2>1
設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4)由韋達(dá)定理:{y3+y4=48n4n2+5y3y4=644n2+5
|y3-y4|=y3+y42y3y4=165n214n2+5
s△CDF1=12|F1F4|×|y3-y4|=12×8×165×n214n2+5=645n214n2+5
令t=n210,∴n2=t2+1,s△CDF1=645×t4t2+9=64514t+9t
∵t>0,∴4t+9t12,當(dāng)且僅當(dāng)t=32即n=132時(shí)等號成立
∴n=132時(shí),△CDF1面積的最大值1653….(12分)

點(diǎn)評 本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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