分析 (Ⅰ)由F2(2,0),F(xiàn)3(-6,0),可得){a2+2=36a2−2=4⇒a
(Ⅱ)曲線C2的漸近線為±ax,如圖,設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),設(shè)直線l:y=a(x−m),與橢圓方程聯(lián)立化為2x2-2mx+(m2-a2)=0,利用△>0,根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式,只要證明y0=-ax0即可.
(Ⅲ)設(shè)直線l1的方程為x=ny+6(n>0).與橢圓方程聯(lián)立可得(5+4n2)y2+48ny+64=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出.
解答 解:(Ⅰ)∵F2(2,0),F(xiàn)3(-6,0),∴{a2+2=36a2−2=4⇒a{a2=202=16
則曲線Γ的方程為x220+y216=1(y≤0)和x220−y216=1(y>0)….(3分)
(Ⅱ)曲線C2的漸近線為y=±ax,如圖,設(shè)直線l:y=a(x−m)
則{y=a(x−m)x2a2+y22=1⇒2x2-2mx+(m2-a2)=0
△=(2m)2-4•2•(m2-a2)=8a2-4m2>0⇒-√2a<m<√2a
又由數(shù)形結(jié)合知m≥a,a≤m<√2a
設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)則{x1+x2=mx1x2=m2−a22,
∴x0=x1+x22=m2,y0=a(x0−m)=−a•m2
∴y0=−ax0,即點(diǎn)M在直線y=-ax上. …(7分)
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,曲線C1為x220+y216=1(y≤0),點(diǎn)F4(6,0).
設(shè)直線l1的方程為x=ny+6(n>0)
由{x220+y216=1x=ny+6⇒(4n2+5)y2+48ny+64=0
△=(48n)2-4×64(4n2+5)>0⇒n2>1
設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4)由韋達(dá)定理:{y3+y4=−48n4n2+5y3y4=644n2+5
|y3-y4|=√(y3+y4)2−y3y4=16√5√n2−14n2+5.
s△CDF1=12|F1F4|×|y3-y4|=12×8×16√5×√n2−14n2+5=64√5√n2−14n2+5
令t=√n2−1>0,∴n2=t2+1,s△CDF1=64√5×t4t2+9=64√514t+9t
∵t>0,∴4t+9t≥12,當(dāng)且僅當(dāng)t=32即n=√132時(shí)等號成立
∴n=√132時(shí),△CDF1面積的最大值16√53….(12分)
點(diǎn)評 本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | sin1-cos1 | B. | cos1-sin1 | C. | sin1+cos1 | D. | -sin1-cos1 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 3 | B. | 4 | C. | 16 | D. | \frac{1}{256} |
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A. | a,b 不全為0 | B. | a,b全不為0 | ||
C. | a,b 至少有一個為0 | D. | a不為0且b為0,或 b不為0且a為0 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -5 | B. | 5 | C. | 90 | D. | 180 |
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