Question

海事救援船對(duì)一艘失事船進(jìn)行定位：以失事船的當(dāng)前位置為原點(diǎn)，以正北方向?yàn)閥軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系（以1海里為單位長度），則救援船恰在失事船的正南方向12海里A處，如圖．現(xiàn)假設(shè)：
①失事船的移動(dòng)路徑可視為拋物線y=

12

49

x2；
②定位后救援船即刻沿直線勻速前往救援；
③救援船出發(fā)t小時(shí)后，失事船所在位置的橫坐標(biāo)為7t．
（1）當(dāng)t=0.5時(shí)，寫出失事船所在位置P的縱坐標(biāo)．若此時(shí)兩船恰好會(huì)合，求救援船速度的大小和方向；
（2）問救援船的時(shí)速至少是多少海里才能追上失事船？

Answer 1

分析：（1）t=0.5時(shí)，確定P的橫坐標(biāo)，代入拋物線方程可得P的縱坐標(biāo)，利用|AP|，即可確定救援船速度的大小和方向；
（2）設(shè)救援船的時(shí)速為v海里，經(jīng)過t小時(shí)追上失事船，此時(shí)位置為（7t，12t²），從而可得v關(guān)于t的關(guān)系式，利用基本不等式，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）t=0.5時(shí)，P的橫坐標(biāo)x_P=7t=

7

2

，代入拋物線方程y=

12

49

x2中，得P的縱坐標(biāo)y_P=3．
由|AP|=

949

2

，得救援船速度的大小為

949

海里/時(shí)．
由tan∠OAP=

7

30

，得∠OAP=arctan

7

30

，故救援船速度的方向?yàn)楸逼珫|arctan

7

30

弧度；
（2）設(shè)救援船的時(shí)速為v海里，經(jīng)過t小時(shí)追上失事船，此時(shí)位置為（7t，12t²）．
由vt=

(7t)2+(12t2+12)2

，整理得v2=144（t2+

1

t2

）+337
因?yàn)閠2+

1

t2

≥2，當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)等號(hào)成立，所以v²≥144×2+337=25²，即v≥25．
因此，救援船的時(shí)速至少是25海里才能追上失事船．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的選擇與運(yùn)用．選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型是解決此類問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．