Question

如圖所示，已知P（4，0）是圓x²+y²=36內(nèi)的一點(diǎn)，A、B是圓上兩動點(diǎn)，且滿足∠APB=90°，求矩形APBQ的頂點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：設(shè)AB的中點(diǎn)為R，設(shè)R的坐標(biāo)為（x₁，y₁），則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|，在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²-|OR|² =36-（），再由|AR|=|PR|=，由此得到點(diǎn)R的軌跡方程 -4x₁-10=0①，設(shè)Q（x，y），因為R是PQ的中點(diǎn)，可得x₁=，代入①化簡即得所求．
解答：解：設(shè)AB的中點(diǎn)為R，則R也是PQ的中點(diǎn)，設(shè)R的坐標(biāo)為（x₁，y₁），則在Rt△ABP中，|AR|=|PR|．
又因為R是弦AB的中點(diǎn)，依垂徑定理：在Rt△OAR中，|AR|²=|AO|²-|OR|²=36-（）．
又|AR|=|PR|=，所以有（x₁-4）²+=36-（），即 -4x₁-10=0．
因此點(diǎn)R在一個圓上，而當(dāng)R在此圓上運(yùn)動時，Q點(diǎn)即在所求的軌跡上運(yùn)動．
設(shè)Q（x，y），因為R是PQ的中點(diǎn)，所以x₁=，
代入方程 -4x₁-10=0，得-10=0，
整理得：x²+y²=56，這就是所求的Q點(diǎn)的軌跡方程．
點(diǎn)評：本題主要考查利用“相關(guān)點(diǎn)代入法”求曲線的軌跡方程，利用平面幾何的基本知識和兩點(diǎn)間的距離公式建立線段AB中點(diǎn)R的軌跡方程．欲求Q的軌跡方程，應(yīng)先求R的軌跡方程，若學(xué)生思考不深刻，發(fā)現(xiàn)不了問題的實(shí)質(zhì)，很難解決此題，屬于難題．