Question

設曲線C：f（x）=lnx-ex（e=2.71828…），f′（x）表示f（x）導函數(shù)．
（I）求函數(shù)f（x）的極值；
（II）數(shù)列{a_n}滿足a₁=e，．求證：數(shù)列{a_n}中不存在成等差數(shù)列的三項；
（III）對于曲線C上的不同兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂，求證：存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直線AB的斜率等于f′（x₀）．

Answer 1

解：（I），得
當x變化時，f′（x）與f（x）變化情況如下表：

x
f′（x）	+	0	-
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

∴當時，f（x）取得極大值，沒有極小值； …（4分）
（II）∵，∴a_n+1=2a_n+e，∴a_n=e（2ⁿ-1）…（6分）
假設數(shù)列{a_n}中存在成等差數(shù)列的三項a_r，a_s，a_t（r＜s＜t），
則2a_s=a_r+a_t，2e（2^s-1）=e（2^r-1）+e（2^t-1），2^s+1=2^r+2^t，∴2^s-r+1=1+2^t-r又s-r+1＞0，t-r＞0，
∴2^s-r+1為偶數(shù)，1+2^t-r為奇數(shù)，假設不成立
因此，數(shù)列{a_n}中不存在成等差數(shù)列的三項 …（8分）
（III）∵f′（x₀）=k_AB，∴，∴
即，設，，g（x₁）是x₁的增函數(shù)，
∵x₁＜x₂，∴；，，g（x₂）是x₂的增函數(shù)，
∵x₁＜x₂，∴，
∴函數(shù)在（x₁，x₂）內(nèi)有零點x₀，…（10分）
又∵，∴，函數(shù)在（x₁，x₂）是增函數(shù)，
∴函數(shù)在（x₁，x₂）內(nèi)有唯一零點x₀，命題成立…（12分）
分析：（I）先對函數(shù)進行求導，討論滿足f′（x）=0的點附近的導數(shù)的符號的變化情況，來確定極值點，求出極值即可．
（II）根據(jù)遞推關系求出數(shù)列通項an，假設數(shù)列{an}中存在成等差數(shù)列的三項a_r，a_s，a_t，尋求矛盾即可．
（III）假設存在，再進行論證
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值，以及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題．