Question

已知函數(shù)f（x）=-x（0＜x＜）．
（1）求f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）；
（2）求證：不等式sin³x＞x³cosx在（0，]上恒成立；
（3）求g（x）=-（0＜x≤）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的運算法則求解該函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，注意復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)法則的運用；
（2）通過構(gòu)造函數(shù)，研究構(gòu)造的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)完成該不等式的證明問題，注意發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具作用；
（3）利用（2）的結(jié)論完成該函數(shù)最值的求解，注意發(fā)揮函數(shù)單調(diào)性與最值的聯(lián)系作用．
解答：解：（1）根據(jù)求導(dǎo)的運算法則得出f′（x）=x+sin²xx-1；

（2）由（1）知f′（x）=x+sin²xx-1，其中f（0）=0
令f′（x）=G（x），對G（x）求導(dǎo)數(shù)得G′（x）
G′（x）=x（-sinx）+[2sinxcosxx+sin²x（-）x（-sinx）]
=sin³xx＞0在x∈（0，）上恒成立．
故G（x）即f（x）的導(dǎo)函數(shù)在（0，）上為增函數(shù)，故f′（x）＞f′（0）=0
進而知f（x）在（0，）上為增函數(shù)，故f（x）＞f（0）=0，當x=時，sin³x＞x³cosx顯然成立．
于是有sin³x-x³cosx＞0在（0，]上恒成立．

（3）∵由（2）可知sin³x-x³cosx＞0在（0，]上恒成立．
則g′（x）=在（0，]上恒成立．即g（x）在（0，]單增
于是g（x）≤g（）=．故g（x）=-（0＜x≤）的最大值為．
點評：本題考查基本函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)運算，考查導(dǎo)數(shù)工具證明不等式，考查函數(shù)最值的求解，充分發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具作用，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想．