17.若函數(shù)f(x)=2m(lnx+x)-x2有唯一零點(diǎn),則m的取值范圍是m<0或m=1212

分析 由f(x)=0得2m(lnx+x)=x2,根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題,利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.

解答 解:由f(x)=2m(lnx+x)-x2=0,
得2m(lnx+x)=x2,
若m=0,則x=0,不滿足函數(shù)的定義域(0,+∞),故m≠0,
設(shè)h(x)=2m(lnx+x),則函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+∞),
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)h′(x)=2m(1+1x),
若m<0,則h′(x)<0恒成立,則函數(shù)單調(diào)遞減,此時(shí)函數(shù)h(x)與y=x2,在(0,+∞)上只有一個(gè)交點(diǎn),滿足條件.
若m>0,則h′(x)>0恒成立,則函數(shù)單調(diào)遞增,
要使函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn),則兩個(gè)函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn),即此時(shí)兩個(gè)函數(shù)相切,
設(shè)切點(diǎn)為(a,b),
則h′(x)=2m(1+1x),y′=2x,
則滿足{2m1+1a=2a2mlna+a=a2得a=1,m=12,
綜上m<0或m=12,
故答案為:m<0或m=12

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,利用轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,借助導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵.

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