Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，側(cè)面底面，，，為線段的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接，交于點(diǎn)，連接，利用中位線的性質(zhì)可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得平面；

（2）取的中點(diǎn)，連接、，證明出底面，然后以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面所成銳二面角的余弦值.

（1）連接，交于點(diǎn)，連接，

由于底面為菱形，為的中點(diǎn)，

在中，為的中點(diǎn)，，

又因?yàn)?/span>平面，平面，平面；

（2）取的中點(diǎn)，連接、，

由題意可得，，又側(cè)面底面，即底面.

以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為軸、軸、軸建立如圖所示

的坐標(biāo)系，則有，，，，，

，，，，

設(shè)平面的法向量為

，得，令，則，，

則是平面的一個(gè)法向量，

同理設(shè)平面的法向量為，

，得，令，則，，

則是平面的一個(gè)法向量，

設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則.