【題目】如圖,已知曲線,曲線,P是平面上一點(diǎn),若存在過(guò)點(diǎn)P的直線與都有公共點(diǎn),則稱P為“C1—C2型點(diǎn)”.
(1)在正確證明的左焦點(diǎn)是“C1—C2型點(diǎn)”時(shí),要使用一條過(guò)該焦點(diǎn)的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗(yàn)證);
(2)設(shè)直線與有公共點(diǎn),求證,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C1—C2型點(diǎn)”;
(3)求證:圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1—C2型點(diǎn)”.
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
(1)C1的左焦點(diǎn)為,過(guò)F的直線與C1交于,與C2交于,故C1的左焦點(diǎn)為“C1-C2型點(diǎn)”,且直線可以為;
(2)直線與C2有交點(diǎn),則
,若方程組有解,則必須;
直線與C2有交點(diǎn),則
,若方程組有解,則必須
故直線至多與曲線C1和C2中的一條有交點(diǎn),即原點(diǎn)不是“C1-C2型點(diǎn)”.
(3)顯然過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的直線若與曲線C1有交點(diǎn),則斜率必存在;
根據(jù)對(duì)稱性,不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線C2交于點(diǎn),則
直線與圓內(nèi)部有交點(diǎn),故
化簡(jiǎn)得,①
若直線與曲線C1有交點(diǎn),則
化簡(jiǎn)得,②
由①②得,
但此時(shí),因?yàn)?/span>,即①式不成立;
當(dāng)時(shí),①式也不成立
綜上,直線若與圓內(nèi)有交點(diǎn),則不可能同時(shí)與曲線C1和C2有交點(diǎn),
即圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C1-C2型點(diǎn)” .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,圓與長(zhǎng)軸是短軸兩倍的橢圓:相切于點(diǎn)
(1)求橢圓與圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)引兩條互相垂直的兩直線與兩曲線分別交于點(diǎn)與點(diǎn)(均不重合).若為橢圓上任一點(diǎn),記點(diǎn)到兩直線的距離分別為,求的最大值,并求出此時(shí)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次不等式ax2+2x+b>0的解集為{x|x≠c},則(其中a+c≠0)的取值范圍為_____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義在上的函數(shù),如果滿足:對(duì)任意,存在常數(shù),都有成立,則稱是上的有界函數(shù),其中稱為函數(shù)的上界.
(1)設(shè),判斷在上是否為有界函數(shù),若是,請(qǐng)說(shuō)明理由,并寫出的所有上界的集合;若不是,也請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列,滿足:對(duì)任意正整數(shù),都有,,成等差數(shù)列,,,成等比數(shù)列,且,.
(Ⅰ)求證:數(shù)列是等差數(shù)列;
(Ⅱ)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)設(shè)=++…+,如果對(duì)任意的正整數(shù),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,傾斜角為a的直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F,且與拋物線交于A、B兩點(diǎn).
(1)求拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線的方程;
(2)若a為銳角,作線段AB的垂直平分線m交x軸于點(diǎn)P,證明|FP|-|FP|cos2a為定值,并求此定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若函數(shù)存在最小值,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓上兩個(gè)不同的點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱.
(1)若已知,為橢圓上動(dòng)點(diǎn),證明:;
(2)求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)求面積的最大值(為坐標(biāo)原點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,一個(gè)頂點(diǎn)為,離心率為,過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F的直線l與坐標(biāo)軸不垂直,且交橢圓于A,B兩點(diǎn).
求橢圓的方程;
設(shè)點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn),在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)N,使得C,B,N三點(diǎn)共線?若存在,求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;
設(shè),是線段為坐標(biāo)原點(diǎn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且,求m的取值范圍.
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