【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值；

（3）若正實(shí)數(shù)滿足，證明：.

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為（2）（3）證明見解析

【解析】

(1)求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)問題轉(zhuǎn)化為恒成立，先求，然后分別討論當(dāng)和時(shí)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求的最大值，若最大值小于零，則不等式恒成立，否則不恒成立，由此確定整數(shù)的最小值；(3) 由題意得，即，因?yàn)?/span>均為正實(shí)數(shù)，令，分析確定其最小值，也就是的最小值，所以解不等式可以確定，命題得證.

解：（1）定義域?yàn)?/span>

由，即，解得或

∴單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）設(shè)

不等式恒成立等價(jià)于恒成立，

當(dāng)時(shí)，則，，

所以，在上單調(diào)遞增，

因?yàn)?/span>，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，

+

0

-

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

設(shè)在單調(diào)遞減且

所以當(dāng)時(shí)，

所以整數(shù)的最小值為2；

(3)由題意得，

即，

令，，則，

在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，

所以，令，

則且，解得成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面為梯形， 底面， ， ， ， ．　

（1）求證：平面 平面；

（2）設(shè)為上的一點(diǎn)，滿足，若直線與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，數(shù)列前項(xiàng)和記為，前項(xiàng)積記為.

(1) 若，求等比數(shù)列的公比；

(2) 在(1)的條件下，判斷與的大小；并求為何值時(shí)，取得最大值；

(3) 在(1)的條件下，證明：若數(shù)列中的任意相鄰三項(xiàng)按從小到大排列，則總可以使其成等差數(shù)列；若所有這些等差數(shù)列的公差按從小到大的順序依次記為，則數(shù)列為等比數(shù)列.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，，點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，且.

（1）求證：平面PAD；

（2）若，求平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某加油站擬建造如圖所示的鐵皮儲(chǔ)油罐(不計(jì)厚度，長度單位為米)，其中儲(chǔ)油罐的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，(為圓柱的高，為球的半徑，).假設(shè)該儲(chǔ)油罐的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為千元.設(shè)該儲(chǔ)油罐的建造費(fèi)用為千元.

(1) 寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；

(2) 若預(yù)算為萬元，求所能建造的儲(chǔ)油罐中的最大值(精確到)，并求此時(shí)儲(chǔ)油罐的體積(單位: 立方米，精確到立方米).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校為了普及環(huán)保知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的環(huán)保意識(shí)，在全校組織了一次有關(guān)環(huán)保知識(shí)的競(jìng)賽．經(jīng)過初賽、復(fù)賽，甲、乙兩個(gè)代表隊(duì)（每隊(duì)3人）進(jìn)入了決賽，規(guī)定每人回答一個(gè)問題，答對(duì)為本隊(duì)贏得10分，答錯(cuò)得0分．假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為，乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為，，，且各人回答正確與否相互之間沒有影響，用表示乙隊(duì)的總得分．

（Ⅰ）求的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（Ⅱ）求甲、乙兩隊(duì)總得分之和等于30分且甲隊(duì)獲勝的概率．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)為,曲線上的動(dòng)點(diǎn)P滿足.又曲線上的點(diǎn)A、B滿足.

（1）求曲線的方程；

（2）若點(diǎn)A在第一象限，且，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（3）求證：原點(diǎn)到直線AB的距離為定值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知f（x）=log4（4x+1）+kx是偶函數(shù)．

（1）求k的值；

（2）判斷函數(shù)y=f（x）-x在R上的單調(diào)性，并加以證明；

（3）設(shè)g（x）=log4（a2x-a），若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．

從數(shù)列中取出部分項(xiàng)，并將它們按原來的順序組成一個(gè)數(shù)列，稱之為數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列．

設(shè)數(shù)列是一個(gè)首項(xiàng)為、公差為的無窮等差數(shù)列．

（1）若，，成等比數(shù)列，求其公比．

（2）若，從數(shù)列中取出第2項(xiàng)、第6項(xiàng)作為一個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)、第2項(xiàng)，試問該數(shù)列是否為的無窮等比子數(shù)列，請(qǐng)說明理由．

（3）若，從數(shù)列中取出第1項(xiàng)、第項(xiàng)（設(shè)）作為一個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)、第2項(xiàng)，試問當(dāng)且僅當(dāng)為何值時(shí)，該數(shù)列為的無窮等比子數(shù)列，請(qǐng)說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案