如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1.應(yīng)用空間向量方法求:
(1)求A1B和B1C的夾角
(2)求證:A1B⊥AC1
分析:(1)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線(xiàn)為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,標(biāo)出所用點(diǎn)的坐標(biāo),
求出向量
A1B
B1C
的坐標(biāo),然后利用向量
A1B
B1C
的夾角求解A1B和B1C的夾角;
(2)求出
A1B
AC1
的坐標(biāo),由兩向量的數(shù)量積等于0證明A1B⊥AC1
解答:(1)解:如圖,
分別以DA,DC,DD1所在直線(xiàn)為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則A1(1,0,1),B(1,1,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),A(1,0,0),C1(0,1,1).
A1B
=(0,1,-1),
B1C
=(-1,0,-1)
,
A1B
B1C
=0×(-1)+1×0+(-1)×(-1)=1

cos<
A1B
,
B1C
=
A1B
B1C
|
A1B
|•|
B1C
|
=
1
2
2
=
1
2

則A1B和B1C的夾角為
π
3
;
(2)證明:∵
A1B
=(0,1,-1),
AC1
=(-1,1,1)

A1B
AC1
=0×(-1)+1×1+(-1)×1=0

∴A1B⊥AC1
點(diǎn)評(píng):本題考查了異面直線(xiàn)所成的角,考查了面面垂直的性質(zhì),訓(xùn)練了利用空間向量求解線(xiàn)線(xiàn)角,屬中檔題.
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如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a,它的各個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,問(wèn)球O的表面積.
(1) 如果球O和這個(gè)正方體的六個(gè)面都相切,則有S=
 

(2)如果球O和這個(gè)正方體的各條棱都相切,則有S=
 

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如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為BB1和A1D1的中點(diǎn).證明:向量
A1B
、
B1C
、
EF
是共面向量.

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如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1棱長(zhǎng)為8,E、F分別為AD1,CD1中點(diǎn),G、H分別為棱DA,DC上動(dòng)點(diǎn),且EH⊥FG.
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(2)當(dāng)GH取得最小值時(shí),求證:EH與FG共面;并求出此時(shí)EH與FG的交點(diǎn)P到直線(xiàn)B1B的距離.

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精英家教網(wǎng)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分別是所在棱的三等分點(diǎn),且BF=DE=C1G=C1H=
13
AB

(1)證明:直線(xiàn)EH與FG共面;
(2)若正方體的棱長(zhǎng)為3,求幾何體GHC1-EFC的體積.

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