Question

15．已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F（1，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點M（m，0）（m＞0）任作一條直線與曲線C交于A，B兩點，點N（n，0），連接AN，BN，且m+n=0．求證：∠ANM=∠BNM．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x，y）是曲線C上任意一點，由題意可得C上每一點到點F（1，0）的距離等于它到x=-1的距離，得到x，y的方程，化簡即可；
（2）設(shè)過點M（m，0）（m＞0）的直線l與曲線C的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)l的方程為x=λy+m，代入曲線方程，運用判別式大于0和韋達定理，運用兩點的斜率公式計算k_AN+k_BN，化簡整理即可得到所求值．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y）是曲線C上任意一點，
由題意可得C上每一點到點F（1，0）的距離等于它到x=-1的距離，
那么點P（x，y）滿足：$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}=|{x+1}|$，
化簡得y²=4x；
（2）證明：設(shè)過點M（m，0）（m＞0）的直線l與曲線C的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設(shè)l的方程為x=λy+m，由$\left\{{\begin{array}{l}{x=λy+m}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$得y²-4λy-4m=0，△=16（λ²+m）＞0，
于是$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=4λ}\\{{y_1}{y_2}=-4m}\end{array}}\right.$①，
∴k_AN+k_BN=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-n}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-n}$=$\frac{2λ{y}_{1}{y}_{2}+（m-n）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{（{x}_{1}-n）（{x}_{2}-n）}$
=$\frac{-8λm+4λ（m-n）}{（{x}_{1}-n）（{x}_{2}-n）}$=$\frac{-4λ（m+n）}{（{x}_{1}-n）（{x}_{2}-n）}$，
∵m+n=0，∴k_AN+k_BN=0，即k_AN=-k_BN，
則∠ANM=∠BNM．

點評 本題考查拋物線的方程和運用，主要是聯(lián)立直線和拋物線方程，運用判別式大于0，韋達定理，考查兩角相等的證明，注意運用直線的斜率相等，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．