Question

設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，對(duì)x∈R都有f（-x）=f（x），f（x）•f（x+2）=10，且當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，，若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是

1. A.
   （1，2）
2. B.
   （2，+∞）
3. C.
   （1，）
4. D.
   （，2）

Answer 1

D
分析：確定函數(shù)為周期函數(shù)，是定義在R上的偶函數(shù)，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f（x）與y=log_a（x+2）在區(qū)間（-2，6]上有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即可求得結(jié)論．
解答：∵對(duì)于任意的x∈R，都有f（x）•f（x+2）=10，∴
∴函數(shù)f（x）是一個(gè)周期函數(shù)，且T=4．
∵對(duì)x∈R都有f（-x）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∵當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=（）^x-1，在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
∴函數(shù)y=f（x）與y=log_a（x+2）在區(qū)間（-2，6]上有三個(gè)不同的交點(diǎn)，如下圖所示：

又f（-2）=f（2）=3，則有 log_a4＜3，且log_a8＞3，解得：＜a＜2，
故a的取值范圍是（，2）．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中根據(jù)方程的解與函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系，將方程根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，是解答本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．