Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+ax，a∈R．
（Ⅰ）若a=-1，求函數(shù)f（x）的最大值；
（Ⅱ）試求函數(shù)在區(qū)間（1，2）上的零點個數(shù)．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）a=-1時求得f'（x），進而可得函數(shù)單調(diào)區(qū)間，由單調(diào)性可得函數(shù)最大值；
（Ⅱ）先求得f'（x）=

ax+1

x

（x＞0），分a≥0，a＜0進行討論：a≥0時，由函數(shù)單調(diào)性及端點處函數(shù)值符號可作出判斷；a＜0時，可得-

1

a

為函數(shù)的唯一極大值點，且f（1）＜0，再根據(jù)極值點-

1

a

在區(qū)間（1，2）的左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)三種情況進行討論，可得結(jié)論；

解答： 解：（Ⅰ）若a=-1，則f′(x)=

-x+1

x

(x＞0)，
故函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f（x）的最大值為f（1）=-1；
（Ⅱ）由題意，f′(x)=

ax+1

x

(x＞0)，
（1）當(dāng)a≥0時，f'（x）＞0恒成立，故函數(shù)在（1，2）上單調(diào)遞增，而f（1）=a≥0，
∴此時函數(shù)f（x）在（1，2）上沒有零點；
（2）當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）在(0，-

1

a

)上單調(diào)遞增，在(-

1

a

，+∞)上單調(diào)遞減，且f（1）=a＜0，
故有（ⅰ）當(dāng)-

1

a

≤1即-1≤a＜0時，函數(shù)f（x）在（1，2）上沒有零點；
（ⅱ）當(dāng)1＜-

1

a

≤2即-1＜a≤-

1

2

時，f(-

1

a

)=ln(-

1

a

)-1≤-1+ln2＜0，
∴此時函數(shù)f（x）在（1，2）上亦沒有零點；
（ⅲ）當(dāng)-

1

a

＞2即a＞-

1

2

時，f（2）=2a+ln2．
∴當(dāng)f（2）=2a+ln2＜0時，函數(shù)f（x）在（1，2）上沒有零點
當(dāng)f（2）=2a+ln2＞0時，函數(shù)f（x）在（1，2）上有唯一的零點，
綜上，當(dāng)-

ln2

2

＜a＜0時，函數(shù)f（x）在（1，2）上有唯一的零點；
當(dāng)a≤-

ln2

2

或a≥0時，函數(shù)f（x）在（1，2）上沒有零點．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，考查分類討論思想，考查學(xué)生綜合運用知識分析問題解決問題的能力，極值點不確定時要根據(jù)極值點與區(qū)間的位置關(guān)系分類討論．