Question

已知函數(shù)，．

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若的最小值為0，回答下列問題：

（�。┣髮崝�(shù)的值；

…

（ⅱ）已知數(shù)列滿足,，記[]表示不大于的最大整數(shù)，求，求．

Answer 1

解：（1）函數(shù)的定義域為，且．

當時，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；    

當時，由，解得；由，解得．

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

綜上述：時，的單調(diào)遞增區(qū)間是；

                時，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是．

（2）（�。┯桑�1）知，當時，無最小值，不合題意；           

當時，        

令，則，

由，解得；由，解得．

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

故，即當且僅當x=1時，=0.

因此，．                    

（ⅱ）因為，所以.

由得于是．因為，所以.

猜想當，時，．     

下面用數(shù)學歸納法進行證明．

①當時，，故成立．    

②假設當 (，)時，不等式成立. 則當時，，

由（1）知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，

所以，又因為，．

故成立，即當時，不等式成立．

根據(jù)①②可知，當，時，不等式成立．  

…