精英家教網(wǎng)已知半橢圓
x2
b2
+
y2
a2
=1 (y≥0)和半圓x2+y2=b2（y≤0）組成曲線C，其中a＞b＞0；如圖，半橢圓
x2
b2
+
y2
a2
=1 (y≥0)內(nèi)切于矩形ABCD，且CD交y軸于點(diǎn)G，點(diǎn)P是半圓x2+y2=b2（y≤0）上異于A，B的任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)M(
6
3
，-
3
3
)時(shí)，△AGP的面積最大．
（1）求曲線C的方程；
（2）連PC、PD交AB分別于點(diǎn)E、F，求證：AE2+BF2為定值．
分析：（1）由題設(shè)條件知(
6
3
)2+(-
3
3
)2=b2，所以b=1，由此可知半圓x2+y2=b2（y≤0）在點(diǎn)M處的切線與直線AG平行，所以O(shè)M⊥AG，kAG=
2
=
a
b
，所以a=
2
，所以曲線C的方程為x2+
y2
2
=1 (y≥0)或x2+y2=1（y≤0）．
（2）設(shè)P（x0，y0），則有直線PC的方程為y-
2
=
y0-
2
x0-1
(x-1)，令y=0，得B1，所以AE=2-
2
(x0-1)
y0-
2
；直線PD的方程為y-
2
=
y0-
2
x0+1
(x+1)，令y=0，得xF=-1-
2
(x0+1)
y0-
2
，BF=2+
2
(x0+1)
y0-
2
．由此入手能夠推導(dǎo)出AE2+BF2為定值．
解答：解：（1）已知點(diǎn)M(
6
3
，-
3
3
)
在半圓x2+y2=b2（y≤0）上，
所以(
6
3
)2+(-
3
3
)2=b2，又b＞0，
所以b=1，當(dāng)半圓x2+y2=b2（y≤0）
在點(diǎn)P處的切線與直線AG平行時(shí)，
點(diǎn)P到直線AG的距離最大，
此時(shí)△AGP的面積取得最大值，
故半圓x2+y2=b2（y≤0）
在點(diǎn)M處的切線與直線AG平行，
所以O(shè)M⊥AG，又kOM=
yM-0
xM-0
=-
2
2
，
所以kAG=
2
=
a
b
，又b=1，所以a=
2
，（4分）
所以曲線C的方程為x2+
y2
2
=1 (y≥0)或x2+y2=1（y≤0）．
（2）點(diǎn)C(1，
2
)，點(diǎn)D(-1，
2
)，
設(shè)P（x0，y0），則有直線PC的方程為y-
2
=
y0-
2
x0-1
(x-1)，
令y=0，得x=1-
2
(x0-1)
y0-
2
，
所以AE=2-
2
(x0-1)
y0-
2
；
直線PD的方程為y-
2
=
y0-
2
x0+1
(x+1)，
令y=0，得xF=-1-
2
(x0+1)
y0-
2
，
所以BF=2+
2
(x0+1)
y0-
2
；
則AE2+BF2=[2-
2
(x0-1)
y0-
2
]2+[2+
2
(x0+1)
y0-
2
]2
=
4
x
2
0
+4
(y0-
2
)2
+
8
2
y0-
2
+8，
又由x02+y02=1，得x02=1-y02，
代入上式得AE2+BF2=
8-4
y
2
0
(y0-
2
)2
+
8
2
y0-
2
+8
=
8-4
y
2
0
+8
2
(y0-
2
)
(y0-
2
)2
+8
=
-4(y0-
2
)2
(y0-
2
)2
+8=4，所以AE2+BF2為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)上的兩點(diǎn)，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的離心率e=
3
2
，短軸長(zhǎng)為2，且
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，若
m
•
n
=0．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線AB過橢圓的焦點(diǎn)F（0，c）（c為半焦距），求△AOB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•煙臺(tái)一模）直線l與橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，已知
m
=（ax1，by1），
n
=（ax2，by2），若
m
⊥
n
且橢圓的離心率e=
3
2
，又橢圓經(jīng)過點(diǎn)(
3
2
，1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l過橢圓的焦點(diǎn)F（0，c）（c為半焦距），求直線l的斜率k的值；
（Ⅲ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請(qǐng)給予證明；如果不是，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知半橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1（y≥0，a＞b＞0）和半圓x2+y2=b2（y≤0）組成的曲線C如圖所示．曲線C交x軸于點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)G，H，點(diǎn)M是半圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M位于點(diǎn)（
6
3
，-
3
3
）時(shí)，△AGM的面積最大，則半橢圓的方程為
y2
2
+x2=1（y≥0）
y2
2
+x2=1（y≥0）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
y2
a2
+
x2
b2
=1的一個(gè)焦點(diǎn)為F(0，2
2
)，與兩坐標(biāo)軸正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)（如圖），向量
AB
與向量
m
=(-1，
2
)共線．
（1）求橢圓的方程；
（2）若斜率為k的直線過點(diǎn)C（0，2），且與橢圓交于P，Q兩點(diǎn)，求△POC與△QOC面積之比的取值范圍．

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同步練習(xí)冊(cè)答案