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10.四棱錐P-ABCD中,PC=AB=1,BC=a,∠ABC=60°,底面ABCD為平行四邊形,PC⊥平面ABCD,點M,N分別為AD,PC的中點.
(1)求證:MN∥平面PAB;
(2)若∠PAB=90°,求二面角B-AP-D的正弦值.

分析 (1)取PB為中點Q,連結NQ,QA,推導出四邊形AMNQ為平行四邊形,從而MN∥AQ,由此能證明MN∥平面PAB.
(2)以C為原點,CD為x軸,CA為y軸,CP為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角B-AP-D的正弦值.

解答 證明:(1)取PB為中點Q,連結NQ,QA,
∵點M,N分別為AD,PC的中點,
∴QN是中位線,∴QN∥BC,
又∵ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC∥QN,
∵M是AD中點,∴QN=12BC=12AD=AM,
∴四邊形AMNQ為平行四邊形,∴MN∥AQ,
又MN?平面PAB,AQ?平面PAB,
∴MN∥平面PAB.
解:(2)∵PC⊥平面ABCD,∴PC⊥AB,
又∵PA⊥AB,∴AB⊥面PAC,AB⊥AC,∴a=2,CD⊥AC,
以C為原點,CD為x軸,CA為y軸,CP為z軸,建立空間直角坐標系,
則A(0,3,0),B(-1,3,0),P(0,0,1),
AP=(0,-3,1),AB=(-1,0,0),AD=(1,-3,0),
設面ABP的法向量m=(x,y,z),
{mAB=x=0mAP=3y+z=0,取y=1,得m=(0,1,3),
設面APD的法向量n=(a,b,c),
{nAD=a3b=0nAP=3b+c=0,取a=3,得n=(313),
∴cos<mn>=mn|m||n|=427,
∴二面角B-AP-D的正弦值為14272=217

點評 本題考查線面平行的證明,考查二面角的正弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

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