分析 (1)取PB為中點Q,連結NQ,QA,推導出四邊形AMNQ為平行四邊形,從而MN∥AQ,由此能證明MN∥平面PAB.
(2)以C為原點,CD為x軸,CA為y軸,CP為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出二面角B-AP-D的正弦值.
解答 證明:(1)取PB為中點Q,連結NQ,QA,
∵點M,N分別為AD,PC的中點,
∴QN是中位線,∴QN∥BC,
又∵ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC∥QN,
∵M是AD中點,∴QN=12BC=12AD=AM,
∴四邊形AMNQ為平行四邊形,∴MN∥AQ,
又MN?平面PAB,AQ?平面PAB,
∴MN∥平面PAB.
解:(2)∵PC⊥平面ABCD,∴PC⊥AB,
又∵PA⊥AB,∴AB⊥面PAC,AB⊥AC,∴a=2,CD⊥AC,
以C為原點,CD為x軸,CA為y軸,CP為z軸,建立空間直角坐標系,
則A(0,√3,0),B(-1,√3,0),P(0,0,1),
→AP=(0,-√3,1),→AB=(-1,0,0),→AD=(1,-√3,0),
設面ABP的法向量→m=(x,y,z),
則{→m•→AB=−x=0→m•→AP=−√3y+z=0,取y=1,得→m=(0,1,√3),
設面APD的法向量→n=(a,b,c),
則{→n•→AD=a−√3b=0→n•→AP=−√3b+c=0,取a=√3,得→n=(√3,1,√3),
∴cos<→m,→n>=→m•→n|→m|•|→n|=42√7,
∴二面角B-AP-D的正弦值為√1−(42√7)2=√217.
點評 本題考查線面平行的證明,考查二面角的正弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 圓 | B. | 橢圓 | C. | 雙曲線 | D. | 拋物線 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | {x|0≤x≤1} | B. | {x|1≤x<2} | C. | {x|-1<x≤0} | D. | {x|0≤x<1} |
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A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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