Question

19．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品每年需投入固定成本為3萬元，此外每生產(chǎn)1百件這種產(chǎn)品還需要增加投入1萬元（總成本=固定成本+生產(chǎn)成本）．已知銷售收入滿足函數(shù)：R（x）=$\left\{\begin{array}{l}-0.2{x^2}+5x，0≤x≤12\\ 26，x＞12\end{array}$其中x（百件）為年產(chǎn)量，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉）．
（1）請(qǐng)把年利潤(rùn)y表示為當(dāng)年生產(chǎn)量x的函數(shù)；（利潤(rùn)=銷售收入-總成本）
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少百件時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？

Answer 1

分析 （1）利潤(rùn)函數(shù)y=銷售收入函數(shù)R（x）-成本函數(shù)，x是產(chǎn)品售出的數(shù)量（產(chǎn)量），代入解析式即可；
（2）由利潤(rùn)函數(shù)是分段函數(shù)，分別求出最大值，一段利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量x的值，一段利用函數(shù)的單調(diào)性可求出最值，比較即可．

解答 解：（1）年利潤(rùn)為：$y=\left\{\begin{array}{l}-0.2{x^2}+4x-3，0≤x≤12\\ 23-x，x＞12.\end{array}\right.$；
（2）當(dāng)0≤x≤12時(shí)，y=-0.2x²+4x-3；
當(dāng)x=10時(shí)，y_max=17（萬元）；
當(dāng)x＞12時(shí)，y=23-x為減函數(shù)，y＜11，
∴x=10百件時(shí)，y_max=17（萬元）．
答：當(dāng)年產(chǎn)量為10百件時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為17萬元．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分段函數(shù)的求法和運(yùn)用：求單調(diào)性和最值，考查一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性及最值，屬于基礎(chǔ)題．