Question

某企業(yè)對(duì)所屬A，B，C三個(gè)部門的員工進(jìn)行業(yè)務(wù)能力調(diào)查，按部分采用分層抽樣方法抽取11人，見表．

部門	A	B	C
總?cè)藬?shù)	72	24	z
抽取人數(shù)	6	x	y

（1）求x，y，z的值；
（2）在B，C兩部門抽到的人中隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行某種特殊技能測試，求B部門至少抽到一人的概率；
（3）在（2）中抽到的甲乙兩人被通知于某日下午14點(diǎn)至16點(diǎn)間獨(dú)立選擇時(shí)間到達(dá)指定地點(diǎn)，并立即參加30分鐘技能測試，求存在在某一時(shí)刻，甲乙兩人均在指定地點(diǎn)參加測試的概率．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)分層抽樣的定義和方法可得

6

72

=

x

24

=

y

z

，且 6+x+y=11，由此求得x，y，z的值．
（2）由題意可得，在B，C兩部門分別有2人、3人，由此求得B部門沒有人被抽到的概率，再用1減去此概率，即得所求．
（3）設(shè)甲乙兩人到達(dá)指定地點(diǎn)的時(shí)刻分別為x，y，可得試驗(yàn)包含的所有事件是Ω={（x，y）|14≤x≤16，14≤y≤16}，做出事件對(duì)應(yīng)的集合表示的面積，寫出滿足條件的事件是A={（x，y）|14≤x≤1，0≤y≤1，|x-y|≤0.5}，算出事件對(duì)應(yīng)的集合表示的面積，根據(jù)幾何概型概率公式得到結(jié)果．

解答：解：（1）根據(jù)分層抽樣的定義和方法可得

6

72

=

x

24

=

y

z

，且 6+x+y=11．
解得 x=2，y=3，z=36．
（2）由題意可得，在B，C兩部門分別有2人、3人，則在B，C兩部門抽到的人中隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行某種特殊技能測試，B部門沒有人被抽到的概率為

C 2 3

C 2 5

=0.3，
故求B部門至少抽到一人的概率為1-0.3=0.7．
（3）設(shè)甲乙兩人到達(dá)指定地點(diǎn)的時(shí)刻分別為x，y，則由題意可得 x、y∈[14，16]．
我們把他們到達(dá)的時(shí)刻分別作為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，于是兩人到達(dá)的時(shí)刻均勻地分布在一個(gè)邊長為2的正方形EFMN所標(biāo)示的區(qū)域Ⅰ內(nèi)，如圖所示，
而相遇現(xiàn)象則發(fā)生在陰影區(qū)域EABMCD所表示的區(qū)域G內(nèi)，即甲、乙兩人的到達(dá)時(shí)刻（x，y）滿足|x-y|≤0.5．
求得A（14，14.5）、B（15.5，16）、C（16，15.5）、D（14.5，14）．
所以兩人相遇的概率為區(qū)域G與區(qū)域Ⅰ的面積之比：P=

SG

SI

=

2×2-2( 1 2 × 3 2 × 3 2 )

2×2

=

7

16

，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分層抽樣的定義和方法，利用了總體中各層的個(gè)體數(shù)之比，等于樣本中對(duì)應(yīng)各層的樣本數(shù)之比，一個(gè)事件與它的對(duì)立事件概率間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．