Question

已知二次函數(shù)f（x） 對(duì)任意x∈R，都有f （1-x）=f （1+x）成立，設(shè)向量

a

=（sinx，2），

b

=（2sinx，

1

2

），

c

=（cos2x，1），

d

=（1，2）．
（1）分別求

a

•

b

和

c

•

d

的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求不等式f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）的解集．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式即可求得

a

•

b

和

c

•

d

的取值范圍；
（2）由f （1-x）=f （1+x）可得f（x）圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，結(jié)合f（x）為二次函數(shù)，

a

• 

b

≥1，

c

•

d

≥1，即

a

•

b

，

c

•

d

均在二次函數(shù)f（x）對(duì)稱軸右側(cè)，可對(duì)其開(kāi)口方向分類(lèi)討論，結(jié)合其對(duì)應(yīng)的單調(diào)情況求不等式f(

a

•

b

)＞f(

c

•

d

)的解集．

解答：解：（1）

a

•

b

=2sin²x+1≥1    

c

•

d

=2cos²x+2≥1
（2）∵f（1-x）=f（1+x）∴f（x）圖象關(guān)于x=1對(duì)稱
當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)m＞0時(shí)，f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
由f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）⇒

a

•

b

＞

c

•

d

，即2sin²x+1＞2cos²x+1
又∵x∈[0，π]∴x∈(

π

4

，

3π

4

)
當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)m＜0時(shí)，f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
由f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）⇒

a

•

b

＞

c

•

d

，即2sin²x+1＜2cos²x+1
又∵x∈[0，π]∴x∈[0，

π

4

)∪(

3π

4

，π]、
故當(dāng)m＞0時(shí)不等式的解集為（

π

4

，

3π

4

）；當(dāng)m＜0時(shí)不等式的解集為 [0，

π

4

)∪(

3π

4

，π]

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵在于確定好

a

•

b

≥1與

c

•

d

≥1后，對(duì)二次函數(shù)f（x）的開(kāi)口分類(lèi)討論，從而利用其單調(diào)性解決問(wèn)題，屬于中檔題．