Question

以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．若，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t，0），t∈（0，+∞），點(diǎn)G的坐標(biāo)為（m，3）．
（1）若以O(shè)為中心，A為頂點(diǎn)的雙曲線經(jīng)過點(diǎn)G，求當(dāng)取最小值時(shí)雙曲線C的方程；
（2）過點(diǎn)N（0，1）能否作出直線l，使l與雙曲線C交于S，T兩點(diǎn)，且OS⊥OT？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1），，t∈（0，+∞）
即t=1時(shí)，取最小值，此時(shí)G（2，3），設(shè)雙曲線C的方程為，
則，∴取最小值時(shí)雙曲線C的方程為．
（2）若存在滿足條件的直線l：y=kx+1（k≠0），設(shè)S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），OS⊥OT?x₁x₂+y₁y₂=0（*）
即x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
由由△＞0?k²＜4
又代入（*）得：
∴，即不存在滿足條件的直線l．
分析：（1）根據(jù)建立等式，求出m，然后根據(jù)基本不等式求出m的最小值，從而求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，代入雙曲線方程求出b的值即可；
（2）若存在滿足條件的直線l：y=kx+1（k≠0），設(shè)S（x₁，y₁），T（x₂，y₂），OS⊥OT?x₁x₂+y₁y₂=0，然后將直線與雙曲線聯(lián)立方程組進(jìn)行求解即可．
點(diǎn)評：本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用，以及利用基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．