【題目】已知過原點的動直線l與圓C1:x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的兩點A,B.
(1)求圓C1的圓心坐標(biāo);
(2)求線段AB 的中點M的軌跡C的方程;
(3)是否存在實數(shù) k,使得直線L:y=k(x﹣4)與曲線 C只有一個交點?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說明理由.
【答案】
(1)解:∵圓C1:x2+y2﹣6x+5=0,
整理,得其標(biāo)準(zhǔn)方程為:(x﹣3)2+y2=4,
∴圓C1的圓心坐標(biāo)為(3,0)
(2)解:設(shè)當(dāng)直線l的方程為y=kx、A(x1,y1)、B(x2,y2),
聯(lián)立方程組 ,
消去y可得:(1+k2)x2﹣6x+5=0,
由△=36﹣4(1+k2)×5>0,可得k2<
由韋達定理,可得x1+x2= ,
∴線段AB的中點M的軌跡C的參數(shù)方程為 ,其中﹣ <k< ,
∴線段AB的中點M的軌跡C的方程為:(x﹣ )2+y2= ,其中 <x≤3
(3)解:結(jié)論:當(dāng)k∈(﹣ , )∪{﹣ , }時,直線L:y=k(x﹣4)與曲線C只有一個交點.
理由如下:
聯(lián)立方程組 ,
消去y,可得:(1+k2)x2﹣(3+8k2)x+16k2=0,
令△=(3+8k2)2﹣4(1+k2)16k2=0,解得k=± ,
又∵軌跡C的端點( ,± )與點(4,0)決定的直線斜率為± ,
∴當(dāng)直線L:y=k(x﹣4)與曲線C只有一個交點時,
k的取值范圍為(﹣ , )∪{﹣ , }
【解析】(1)通過將圓C1的一般式方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即得結(jié)論;(2)設(shè)當(dāng)直線l的方程為y=kx,通過聯(lián)立直線l與圓C1的程,利用根的判別式大于0、韋達定理、中點坐標(biāo)公式及參數(shù)方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化,計算即得結(jié)論;(3)通過聯(lián)立直線L與圓C1的方程,利用根的判別式△=0及軌跡C的端點與點(4,0)決定的直線斜率,即得結(jié)論.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中均為實數(shù), 為自然對數(shù)的底數(shù).
(I)求函數(shù)的極值;
(II)設(shè),若對任意的,
恒成立,求實數(shù)的最小值.
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【題目】選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的原點重合,極軸與直角坐標(biāo)系中x軸的正半軸重合.圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù), ),直線,若直線與曲線C相交于A,B兩點,且.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若M,N為曲線C上的兩點,且,求的最小值.
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【題目】設(shè)l,m是兩條不同的直線,α是一個平面,則下列命題正確的是( )
A.若l⊥m,mα,則l⊥α
B.若l⊥α,l∥m,則m⊥α
C.若l∥α,mα,則l∥m
D.若l∥α,m∥α,則l∥m
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【題目】某印刷廠為了研究印刷單冊書籍的成本y(單位:元)與印刷冊數(shù)x(單位:千冊)之間的關(guān)系,在印制某種書籍時進行了統(tǒng)計,相關(guān)數(shù)據(jù)見下表:
根據(jù)以上數(shù)據(jù),技術(shù)人員分別借助甲、乙兩種不同的回歸模型,得到了兩個回歸方程,甲:
為了評價兩種模型的擬合效果,完成以下任務(wù):
(1)(。┩瓿上卤恚ㄓ嬎憬Y(jié)果精確到0.1):
(ⅱ)分別計算模型甲與模型乙的殘差平方和及,并通過比較,的大小,判斷哪個模型擬合效果更好.
(2)該書上市后,受到廣大讀者的熱烈歡迎,不久便全部售罄,于是印刷廠決定進行二次印刷,根據(jù)市場調(diào)查,新需求量為8千冊(概率為0.8)或10千冊(概率為0.2),若印刷廠以沒測5元的價格將書籍出售給訂貨商,問印刷廠二次印刷8千冊還是10千冊恒獲得更多的利潤?(按(1)中擬合效果較好的模型計算印刷單冊書的成本)
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【題目】選修4-4:參數(shù)方程與極坐標(biāo)系
在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù), 為傾斜角),以坐標(biāo)原點O為極點, 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程,并 求C的焦點F的直角坐標(biāo);
(2)已知點,若直線與C相交于A,B兩點,且,求的面積.
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【題目】下列命題正確的是( )
A.若p∨q為真命題,則p∧q為真命題
B.“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要條件
C.命題“若x<﹣1,則x2﹣2x﹣3>0”的否定為:“若x≥﹣1,則x2﹣2x﹣3≤0”
D.已知命題 p:x∈R,x2+x﹣1<0,則p:x∈R,x2+x﹣1≥0
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【題目】某校100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖,其中成績分組區(qū)間如下:
組號 | 第一組 | 第二組 | 第三組 | 第四組 | 第五組 |
分組 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
(Ⅰ)求圖中a的值;
(Ⅱ)根據(jù)頻率分布直方圖,估計這100名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的平均分;
(Ⅲ)現(xiàn)用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機抽取6名學(xué)生,將該樣本看成一個總體,從中隨機抽取2名,求其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90分的概率?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=mx2﹣mx﹣1.
(1)若對于x∈R,f(x)<0恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)若對于x∈[1,3],f(x)<5﹣m恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.
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