Question

9．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AD⊥BC于D．將△ADC沿AD翻折至△ADC′，下列說法中正確的是①③④（寫出所有正確命題的序號）
①AD⊥BC′；    
②BC′可能與平面△ADC′垂直；
③D-ABC′可能是正三棱錐；
④三棱錐D-ABC′體積的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)已知結合線面垂直的判定定理和性質，可判斷①②；結合正三棱錐的定義，要判斷③；求出三棱錐D-ABC′體積的最大值，可判斷④．

解答 解：∵AD⊥BD，AD⊥C′D，BD，C′D?平面BC′D，C′D∩BD=D，
∴AD⊥平面BC′D，
又∵BC′?平面BC′D，
∴AD⊥BC′，故①正確；
在△BC′D中，BD=C′D，
故∠BC′D不可能為直角，
即BC′⊥C′D不成立，
故BC′不可能與平面△ADC′垂直；
故②錯誤；
當BD⊥C′D時，D-ABC′是正三棱錐，
故③正確；
當BD⊥C′D時，三棱錐D-ABC′體積的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故④正確；
故答案為：①③④．

點評 本題考查的知識點是棱錐的結構特征，線面垂直的判定與性質，難度中檔．