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2.一臺(tái)風(fēng)中心于某天中午12:00在港口O的正南方向,距該港口2002千米的海面A處形成(如圖),并以每小時(shí)a千米的速度向北偏東45°方向上沿直線勻速運(yùn)動(dòng),距臺(tái)風(fēng)中心1005千米以內(nèi)的范圍將受到臺(tái)風(fēng)的影響,請(qǐng)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.
(1)當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心離港口O距離最近時(shí),求該臺(tái)風(fēng)所影響區(qū)域的邊界曲線方程;
(2)若港口O于當(dāng)天下午17:00開始受到此臺(tái)風(fēng)的影響,
(i)求a的值;
(ii)求港口O受該臺(tái)風(fēng)影響持續(xù)時(shí)間段的長(zhǎng).

分析 (1)以O(shè)為原點(diǎn),正東方向?yàn)閤正半軸,如圖建立直角坐標(biāo)系,求得A坐標(biāo),過O作臺(tái)風(fēng)中線運(yùn)動(dòng)的直線L的垂線,垂足為H,求得H坐標(biāo),即可臺(tái)風(fēng)所影響區(qū)域的邊界曲線方程;
(2)依題意知臺(tái)風(fēng)形成后5小時(shí)開始影響港口,記以O(shè)為圓心,1005為半徑的圓與L相交于M,N兩點(diǎn)(M離A近),由勾股定理求得HM和AM,即5a=100,即可求得a的中,由MN=2HM=200,t=MNv,即可求得該臺(tái)風(fēng)影響持續(xù)時(shí)間段的長(zhǎng).

解答 解:(1)以O(shè)為原點(diǎn),正東方向?yàn)閤正半軸,如圖建立直角坐標(biāo)系,則A02002,
過O作臺(tái)風(fēng)中線運(yùn)動(dòng)的直線L的垂線,垂足為H,
依題意得:OH=200,OH:y=-x,AH:y=2002
聯(lián)立求得交點(diǎn)H10021002,
當(dāng)臺(tái)風(fēng)中心離港口O距離最近時(shí),該臺(tái)風(fēng)影響區(qū)域的邊界曲線方程為圓:x10022+y+10022=50000;
(2)(i)依題意知臺(tái)風(fēng)形成后5小時(shí)開始影響港口,記以O(shè)為圓心,1005為半徑的圓與L相交于M,N兩點(diǎn)(M離A近),
OH=200OM=1005,
∴HM=100,又AH=200,
∴AM=100,于是5a=100,得a=20,
(ii)又MN=2HM=200,
∴t=20020=10,
所以持續(xù)時(shí)間段的長(zhǎng)為10小時(shí).

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了解三角形的實(shí)際應(yīng)用.考查了考生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力,屬于中檔題.

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