Question

【題目】設數(shù)列的前n項和為,對一切,點都在函數(shù)的圖像上.

（1）證明：當時,;

（2）求數(shù)列的通項公式;

（3）設為數(shù)列的前n項的積,若不等式對一切成立,求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析; （2） （3）

【解析】

（1）根據(jù)點在函數(shù)圖像上,代入點坐標,化簡后結(jié)合即可證明.

（2）根據(jù)（1）所得遞推公式,遞推作差后可得奇偶項分別為等差數(shù)列,根據(jù)和公差即可求得通項公式.

（3）根據(jù)為數(shù)列,代入的通項公式求得的表達式,構(gòu)造函數(shù);代入的通項公式求得函數(shù),根據(jù)恒成立求得即可.通過的單調(diào)性求得,代入解不等即可得實數(shù)a的取值范圍.

（1）證明: 因為對一切,點都在函數(shù)的圖像上

所以,化簡可得

當時,

兩式相減可得

即（）

原式得證.

（2）由（1）可知

所以

兩式相減,可得

所以數(shù)列的奇數(shù)項公差為4的等差數(shù)列,偶數(shù)項公差為4的等差數(shù)列.

由（1）可知

則當時, 求得

則當時, ,即求得

所以當為奇數(shù)時,

所以當為偶數(shù)時,

綜上可知數(shù)列的通項公式為

（3）因為

所以

所以

又因為

所以對一切成立

即對一切成立

只需滿足即可

令

則

所以

所以

即為單調(diào)遞減數(shù)列

所以

所以即可,化簡可得

解不等式可得,或

故實數(shù)a的取值范圍為