Question

定義在R上的函數f（x），當0≤x₁＜x₂≤1時，f（x₁）≤f（x₂），且滿足下列條件：①f（1）=1，②f(

1

2

-x)+f(

1

2

+x)=1，③2f（x）=f（5x）、則f(

1

2010

)等于（　�。�

• A、

  1

  16

• B、

  1

  32

• C、

  1

  64

• D、

  1

  2010

Answer 1

分析：由條件求出f（

1

2

），將條件③轉化為f（

x

5

）=

1

2

f（x），重復使用此等式可得f（

1

3125

）=

1

32

，再重復使用此等式可得f（

1

1250

）=

1

32

，當0≤x₁＜x₂≤1時，f（x₁）≤f（x₂），而

1

3125

≤

1

2010

≤

1

1250

，f（

1

3125

）≤f（

1

2010

）≤f（

1

1250

），
可得所求的值．

解答：解：函數f（x）在[0，1]上是單調增函數，∵①f（1）=1，②f(

1

2

-x)+f(

1

2

+x)=1，
令x=

1

2

得，f（0）=0，令x=0，f（

1

2

）=

1

2

，
∵2f（x）=f（5x），∴f（

x

5

）=

1

2

f（x）
所以f（

1

5

）=

1

2

f（1）=

1

2

f（

1

25

）=

1

2

f（

1

5

）=

1

4

，以此類推
f（

1

125

）=

1

8

，f（

1

625

）=

1

16

，f（

1

3125

）=

1

32

，
再用 f（

x

5

）=

1

2

f（x） 得，
f（

1

10

）=

1

2

f（

1

2

）=

1

4

，f（

1

50

）=

1

2

f（

1

10

）=

1

8

，f（

1

250

）=

1

16

，f（

1

1250

）=

1

32

，
當0≤x₁＜x₂≤1時，f（x₁）≤f（x₂），
而

1

3125

≤

1

2010

≤

1

1250

，∴f（

1

3125

）≤f（

1

2010

）≤f（

1

1250

），

1

32

≤f（

1

2010

）≤

1

32

所以，f（

1

2010

）=

1

32

；
故選B．

點評：本題考查函數的周期性、求函數值．