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15.已知函數(shù)y=f(x)滿足:對(duì)任意x,y∈R,有f(x-y)=f(x)-f(y),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)<0.
(1)判斷y=f(x)的奇偶性;
(2)求不等式f(x-1)>f(3-2x)的解集.

分析 (1)令x=y=0,得f(0)=f(0)-f(0)=0,對(duì)f(x-y)=f(x)-f(y),取x=0,即可得出.
(2)x1,x2∈R,x1<x2,f(x1)-f(x2)=f(x1-x2),當(dāng)x<0時(shí),-x>0,f(-x)<0,可得:f(x)=-f(-x)>0,因此f(x1-x2)>0,可得單調(diào)性,即可解出.

解答 解:(1)令x=y=0,得f(0)=f(0)-f(0)=0,
對(duì)f(x-y)=f(x)-f(y),取x=0,得f(-y)=f(0)-f(y),即f(-y)=-f(y),
∴對(duì)任意x∈R,有f(-x)=-f(x),y=f(x)為奇函數(shù).
(2)x1,x2∈R,x1<x2,f(x1)-f(x2)=f(x1-x2),
∵當(dāng)x<0時(shí),-x>0,f(-x)<0,f(x)=-f(-x)>0,
∴f(x1-x2)>0,即f(x1)>f(x2),
∴y=f(x)在R上為減函數(shù),
∴x-1<3-2x,即{x|x43}

點(diǎn)評(píng) 本題考查了抽象函數(shù)的奇偶性單調(diào)性、不等式的解法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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