Question

設(shè)拋物線(xiàn)y²=2px （p＞0）的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)上，且BC∥x軸．證明直線(xiàn)AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．

Answer 1

【答案】分析：先求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后得到經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)的方程后代入到拋物線(xiàn)中消去x得到關(guān)于y的一元二次方程，進(jìn)而得到兩根之積，根據(jù)BC∥x軸與點(diǎn)c在準(zhǔn)線(xiàn)上可求得c的坐標(biāo)，進(jìn)而可表示出直線(xiàn)CO的斜率，同時(shí)可得到k也是直線(xiàn)OA的斜率，所以直線(xiàn)AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．
得證．
解答：證明：如圖因?yàn)閽佄锞�(xiàn)y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（，0），
所以經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)的方程可設(shè)為；
代入拋物線(xiàn)方程得y²-2pmy-p²=0，
若記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁，y₂是該方程的兩個(gè)根，
所以y₁y₂=-p²．
因?yàn)锽C∥x軸，且點(diǎn)c在準(zhǔn)線(xiàn)x=-上，
所以點(diǎn)c的坐標(biāo)為（-，y₂），
故直線(xiàn)CO的斜率為．
即k也是直線(xiàn)OA的斜率，所以直線(xiàn)AC經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．
點(diǎn)評(píng)：本小題考查拋物線(xiàn)的概念和性質(zhì)，直線(xiàn)的方程和性質(zhì)，運(yùn)算能力和邏輯推理能力．