Question

【題目】已知定義域?yàn)?/span>R的函數(shù)是奇函數(shù).

（1）求實(shí)數(shù)a的值；

（2）判斷該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性（不要求寫證明過(guò)程）.

（3）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

（4）設(shè)關(guān)于x的函數(shù)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）減函數(shù)；（3）；（4）

【解析】

（1）利用可構(gòu)造方程求得結(jié)果；

（2）通過(guò)分離常數(shù)的方法可判斷出函數(shù)的單調(diào)性；

（3）利用奇偶性將不等式變?yōu)?/span>，利用單調(diào)性得到自變量的大小關(guān)系，利用分離變量的方式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，通過(guò)求解二次函數(shù)的最小值求得結(jié)果；

（4）利用奇偶性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有根，根據(jù)單調(diào)性得到方程有根，進(jìn)而得到；根據(jù)二次函數(shù)型的復(fù)合函數(shù)的值域求解方法可求得，從而求得結(jié)果.

（1）為定義在上的奇函數(shù) ，解得：

（2）由（1）知：

為上的增函數(shù) 為上的減函數(shù)

為上的減函數(shù)

（3）由得：

由（2）知：為上的減函數(shù) ，即

，即的取值范圍為

（4）有零點(diǎn)等價(jià)于方程有根

即方程有根

為上的減函數(shù) ，即

當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為

若有根，則

即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有零點(diǎn)