Question

設函數(shù)f（x）=ln（x+a）-x²．
（Ⅰ）當a=0時，求f（x）在（0，e]上的最大值；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，求a的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在實數(shù)a，使直線y=x為函數(shù)f（x）的圖象的一條切線，若存在，求a的值；否則，說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）當a=0時，f（x）=lnx-x²，x＞0，則
令f′（x）＞0，可得0＜x＜，∴f（x）在（0，）上為增函數(shù)，
同理可得f（x）在（，+∞）上為減函數(shù)
∴當x∈（0，e]時，f（x）最大值為f（）=ln-
（Ⅱ）∵f（x）=ln（x+a）-x²，∴x∈[1，2]有x+a＞0恒成立，∴a＞-1
∵f（x）在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，∴x∈[1，2]，f′（x）=≤0恒成立
∴a≥，
而在[1，2]為減函數(shù)，∴a≥，
又a＞-1，故a≥為所求；
（Ⅲ）存在a=1，使直線y=x為函數(shù)f（x）的圖象的一條切線．理由如下：
設切點為P（x₀，y₀），則
∵f′（x₀）=1，∴，∴
∵f（x₀）=x₀，∴，∴
∴
令h（x）=x+x²+ln（1+2x）（x＞-），∴h′（x）=1+2x+＞0
∴h（x）為增函數(shù)，
又h（0）=0，∴h（x₀）=0
∴x₀=0
∴a=1．
分析：（Ⅰ）當a=0時，f（x）=lnx-x²，x＞0，則，利用導數(shù)的正負，確定函數(shù)的單調性，從而可求f（x）在（0，e]上的最大值；
（Ⅱ）f（x）在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，則x∈[1，2]有x+a＞0恒成立，且x∈[1，2]，f′（x）=≤0恒成立，分離參數(shù)，即可求a的取值范圍；
（Ⅲ）設切點為P（x₀，y₀），利用直線y=x為函數(shù)f（x）的圖象的一條切線，可得f′（x₀）=1，f（x₀）=x₀，由此可求得結論．
點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性與最值，考查導數(shù)的幾何意義，考查分離參數(shù)法的運用，屬于中檔題．