直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為
x=
6
cosθ
y=
2
sinθ
(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為
x=
3
2
t
y=2-
1
2
t
(t為參數(shù)),T為直線l與曲線C的公共點(diǎn).以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(Ⅰ)求點(diǎn)T的極坐標(biāo);
(Ⅱ)將曲線C上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長為原來的
3
倍(橫坐標(biāo)不變)后得到曲線W,過點(diǎn)T作直線m,若直線m被曲線W截得的線段長為2
3
,求直線m的極坐標(biāo)方程.
分析:(Ⅰ)曲線C的普通方程為
x2
6
+
y2
2
=1
,將直線l的參數(shù)方程代人上式,解得t的值,可得點(diǎn)T的坐標(biāo),再化為極坐標(biāo).
(Ⅱ)依題知,坐標(biāo)變換式為
x′=x
y′=
3
y
,可得W的方程為x2+y2=6.分直線m的斜率不存在和直線m的斜率存在兩種情況,分別依據(jù)條件求得直線m的方程,再化為極坐標(biāo)方程.
解答:解:(Ⅰ)曲線C的普通方程為
x2
6
+
y2
2
=1
,將
x=
3
2
t
y=2-
1
2
t
代人上式,
整理得t2-4t+4=0,解得t=2,故點(diǎn)T的坐標(biāo)為(
3
, 1)
,
故極徑ρ=
3+1
=2,極角θ滿足tanθ=
1
3
=
3
3
,結(jié)合點(diǎn)所在的象限可得θ=
π
6
,
故點(diǎn)T的極坐標(biāo)為(2, 
π
6
)
.…(5分)
(Ⅱ)依題知,坐標(biāo)變換式為
x′=x
y′=
3
y
,故W的方程為:
x2
6
+
(
y
3
)
2
2
=1
,即x2+y2=6.
當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí),其方程為x=
3
,顯然成立.
當(dāng)直線m的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y-1=k(x-
3
)
,即kx-y-
3
k+1=0
,
則由已知,圓心(0,0)到直線m的距離為
3
,故
|-
3
k+1|
k2+1
=
3
,
解得k=-
3
3
.此時(shí),直線m的方程為y=-
3
3
x+2

綜上,直線m的極坐標(biāo)方程為:ρcosθ=
3
,或ρsinθ+
3
3
ρcosθ=2
.…(10分)
點(diǎn)評:本題主要考查函數(shù)圖象的變換規(guī)律,極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化,點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用,屬于中檔題.
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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以O(shè)為圓心的圓與直線l:y=mx+(3-4m),(m∈R)恒有公共點(diǎn),且要求使圓O的面積最。
(1)寫出圓O的方程;
(2)圓O與x軸相交于A、B兩點(diǎn),圓內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P使|
PA
|
|
PO
|
、|
PB
|
成等比數(shù)列,求
PA
PB
的范圍;
(3)已知定點(diǎn)Q(-4,3),直線l與圓O交于M、N兩點(diǎn),試判斷
QM
QN
×tan∠MQN
是否有最大值,若存在求出最大值,并求出此時(shí)直線l的方程,若不存在,給出理由.

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(0,2)、B(1,1),直線l 經(jīng)過點(diǎn)B且與線段OA相交.則直線 l 傾斜角α的取值范圍是
( 。

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在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P為直線y=-x-2上一點(diǎn),Q為函數(shù)f(x)=
2x
(x>0)的圖象上一點(diǎn),則線段PQ長的最小值是
 

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精英家教網(wǎng)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,我把由兩條射線AE,BF和以AB為直徑的半圓所組成的圖形叫作圖形C(注:不含AB線段).已知A(-1,0),B(1,0),AE∥BF,且半圓與y軸的交點(diǎn)D在射線AE的反向延長線上.
(1)求兩條射線AE,BF所在直線的距離;
(2)當(dāng)一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),寫出b的取值范圍;當(dāng)一次函數(shù)y=x+b的圖象與圖形C恰好只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),寫出b的取值范圍.

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1≤x+y≤3
-1≤x-y≤1
表示圖形的面積等于( 。
A、1B、2C、3D、4

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