Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，D和E分別為棱AC、AB上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若C₁E⊥B₁D，則線段DE長度的取值范圍為（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由題設(shè)條件分別以AB，AC，AA₁為x軸，y軸，z軸，作空間直角坐標(biāo)系，則B₁（1，0，1），C₁（0，1，1），設(shè)E（t₁，0，0），D（0，t₂，0），t₁，t₂∈（0，1），則，，再由C₁E⊥B₁D，得t₁+t₂=1．由，知==，由此能求出線段DE長度的取值范圍．
解答：解：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
，D和E分別為棱AC、AB上的動點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），
∴分別以AB，AC，AA₁為x軸，y軸，z軸，作空間直角坐標(biāo)系，
則B₁（1，0，1），C₁（0，1，1），
設(shè)E（t₁，0，0），D（0，t₂，0），t₁，t₂∈（0，1），
則，，
∵C₁E⊥B₁D，
∴-t₁-t₂+1=0，
即t₁+t₂=1．
∵，
∴
=
=，
∵0＜t₁＜1，
∴當(dāng)時，，
當(dāng)=1．
∴線段DE長度的取值范圍為[，1）．
故選C．
點(diǎn)評：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，是基礎(chǔ)題．解題時要認(rèn)真審題，恰當(dāng)?shù)亟⒖臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解．