Question

設(shè),在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量,向量,,動(dòng)點(diǎn)的軌跡為E.

（1）求軌跡E的方程,并說明該方程所表示曲線的形狀;

（2）已知,證明:存在圓心在原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),并求出該圓的方程;

（3）已知,設(shè)直線與圓C:(1<R<2)相切于A₁,且與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B₁,當(dāng)R為何值時(shí),|A₁B₁|取得最大值?并求最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)m=0時(shí),方程表示兩直線,方程為;當(dāng)時(shí), 方程表示的是圓，當(dāng)且時(shí),方程表示的是橢圓;（2）存在圓滿足要求(3) 當(dāng)時(shí)|A₁B₁|取得最大值,最大值為1.

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013052611110973539608/SYS201305261112017197708987_DA.files/image008.png">,,,

所以,   即.

當(dāng)m=0時(shí),方程表示兩直線,方程為;

當(dāng)時(shí), 方程表示的是圓

當(dāng)且時(shí),方程表示的是橢圓;

(2).當(dāng)時(shí), 軌跡E的方程為,設(shè)圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線為,解方程組得,即,

要使切線與軌跡E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,

則使△=,

即,即,    且

,

要使,  需使,即,

所以, 即且, 即恒成立.

所以又因?yàn)橹本�為圓心在原點(diǎn)的圓的一條切線,

所以圓的半徑為,, 所求的圓為.

當(dāng)切線的斜率不存在時(shí),切線為,與交于點(diǎn)或也滿足.

綜上, 存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且.

(3)當(dāng)時(shí),軌跡E的方程為,設(shè)直線的方程為,因?yàn)橹本�與圓C:(1<R<2)相切于A₁, 由（2）知, 即   ①,

因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013052611110973539608/SYS201305261112017197708987_DA.files/image035.png">與軌跡E只有一個(gè)公共點(diǎn)B₁,

由（2）知得,

即有唯一解

則△=,   即,    ②

由①②得,  此時(shí)A,B重合為B₁(x₁,y₁)點(diǎn),

由 中,所以,,

B₁(x₁,y₁)點(diǎn)在橢圓上,所以,所以,

在直角三角形OA₁B₁中,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013052611110973539608/SYS201305261112017197708987_DA.files/image047.png">當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),所以,即

當(dāng)時(shí)|A₁B₁|取得最大值,最大值為1.

考點(diǎn)：求軌跡方程及直線與橢圓，圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：中取不同值時(shí)代表不同的曲線，可一是直線，圓，橢圓，雙曲線；

直線與橢圓相交問題常用的思路：直線方程與橢圓方程聯(lián)立，整理為x的二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系，將所求問題轉(zhuǎn)化到兩根來表示，本題第二問第三問對(duì)學(xué)生而言難度較大