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9.設(shè)函數(shù)f(x)=x-2msinx+(2m-1)sinxcosx(m為實(shí)數(shù))在(0,π)上為增函數(shù),則m的取值范圍為(  )
A.[0,23]B.(0,23C.(0,23]D.[0,23

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再由條件和余弦函數(shù)的范圍將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:(2m-1)cosx+(m+1)<0在(0,π)上恒成立,再對(duì)m分類討論,利用余弦函數(shù)的范圍求出m的范圍.

解答 解:由題意得:f′(x)=1-2mcosx+2(m-12)cos2x
=2[(2m-1)cos2x-mcosx+1-m]
=2(cosx-1)[(2m-1)cosx+(m+1)]
∵f(x)在區(qū)間(0,π)上是增函數(shù),
∴2(cosx-1)[(2m-1)cosx+(m+1)]>0在(0,π)上恒成立.…(6分)
∵0<x<π,∴cosx<1.即(2m-1)cosx+(m+1)<0在(0,π)上恒成立…(7分)
①若m>12,則cosx<1m2m1對(duì)于x∈(0,π)恒成立,
則只需1m2m1≥1,即12<m≤23;…(9分)
②若m=12,則0•cosx+12-1<0對(duì)于x∈(0,π)顯然成立;…(10分)
③若m<12,則cosx>1m2m1對(duì)于x∈(0,π)恒成立,
則只需1m2m1≤-1,即0≤m<12.…(11分)
綜上所述,所求實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0,23].
故選:A.…(12分)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,余弦函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,以及函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,涉及了分類討論思想和換元法,一題多解,綜合性較強(qiáng),難度大.

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