如圖,已知多面體ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,?AC=AD=CD=DE=2a,AB=a,F(xiàn)為CE的中點.

(1)求證:BF⊥面CDE;

(2)求多面體ABCDE的體積;

(3)求平面BCE和平面ACD所成的銳二面角的大小.

答案:
解析:

  (1)證明:∵AB⊥平面ACD,∴AB⊥AC.

  由AB=a,AC=2a,得BC=.∴BE=

  又F是CE的中點,∴BF⊥CE.

  同理,在直角梯形ABED中,AB⊥AD,DE⊥AD,且AB=a,AD=DE=2a,

  ∴BE=

  又F是CE的中點,∴BF⊥CE.

  ∵BF在面ACD上的射影是等邊△ADC的邊CD上的高,

  ∴BF⊥CD.

  ∴BF⊥平面CDE.

  解:(2)連結(jié)BD,把原幾何體分成三棱錐B-ACD與三棱錐B-CDE.

  VB-ACD·a·(2a)2

  ∵CE=,CF=,

  而BC=,∴BF=

  ∴VB-CDE

  故所求多面體ABCDE的體積為

  (3)設(shè)面BCE與面ACD所成的角為

  ∵△BCE在面ACD上的射影為△ACD,

  ∴cos

  ∴


提示:

  (1)如圖,取CD的中點G,DE的中點H,連結(jié)FG、FH.容易證明它們也是相應(yīng)邊的垂線.再連結(jié)BH.欲證線面垂直,先證線線垂直.如果BF⊥面CDE證明成立的話,則必然有BF⊥CE,考慮到F為CE的中點,我們的目標就是要證明△BCE是等腰三角形.另外由于BF在平面ACD上的射影AG是△ADC的邊CD上的高,所以BF⊥CD.這樣BF就垂直于平面ACD上的兩條相交直線,從而BF⊥面CDE.

  (2)求多面體的體積可以采取將圖形通過切割轉(zhuǎn)化為幾個簡單的幾何體分別求體積后求和的方法.

  (3)注意到△BCE在平面ACD上的射影就是△ADC,有結(jié)論:兩者的面積之比就是所成二面角的余弦值,利用這個結(jié)論列式求解.


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