如圖,已知多面體ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,?AC=AD=CD=DE=2a,AB=a,F(xiàn)為CE的中點.
(1)求證:BF⊥面CDE;
(2)求多面體ABCDE的體積;
(3)求平面BCE和平面ACD所成的銳二面角的大小.
(1)證明:∵AB⊥平面ACD,∴AB⊥AC. 由AB=a,AC=2a,得BC= 又F是CE的中點,∴BF⊥CE. 同理,在直角梯形ABED中,AB⊥AD,DE⊥AD,且AB=a,AD=DE=2a, ∴BE= 又F是CE的中點,∴BF⊥CE. ∵BF在面ACD上的射影是等邊△ADC的邊CD上的高, ∴BF⊥CD. ∴BF⊥平面CDE. 解:(2)連結(jié)BD,把原幾何體分成三棱錐B-ACD與三棱錐B-CDE. VB-ACD= ∵CE= 而BC= ∴VB-CDE= 故所求多面體ABCDE的體積為 (3)設(shè)面BCE與面ACD所成的角為 ∵△BCE在面ACD上的射影為△ACD, ∴cos ∴ |
(1)如圖,取CD的中點G,DE的中點H,連結(jié)FG、FH.容易證明它們也是相應(yīng)邊的垂線.再連結(jié)BH.欲證線面垂直,先證線線垂直.如果BF⊥面CDE證明成立的話,則必然有BF⊥CE,考慮到F為CE的中點,我們的目標就是要證明△BCE是等腰三角形.另外由于BF在平面ACD上的射影AG是△ADC的邊CD上的高,所以BF⊥CD.這樣BF就垂直于平面ACD上的兩條相交直線,從而BF⊥面CDE. (2)求多面體的體積可以采取將圖形通過切割轉(zhuǎn)化為幾個簡單的幾何體分別求體積后求和的方法. (3)注意到△BCE在平面ACD上的射影就是△ADC,有結(jié)論:兩者的面積之比就是所成二面角的余弦值,利用這個結(jié)論列式求解. |
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