Question

已知函數(shù)f（x）定義域為（0，+∞），且滿足2f（x）+f（

1

x

）=(2x-

1

x

)lnx．
（Ⅰ）求f（x）解析式及最小值；
（Ⅱ）求證：?x∈（0，+∞），

x+1

ex

＜1．
（Ⅲ）設g（x）=

x+f(x)

xex

，h（x）=（x²+x）g′（x）．求證：：?x∈（0，+∞），h（x）＜

4

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設x＞0，則

1

x

＞0，利用2f（x）+f（

1

x

）=(2x-

1

x

)lnx，可得2f（

1

x

）+f（x）=（x-

2

x

）lnx，由此可得函數(shù)解析式，求導函數(shù)確定函數(shù)的單調性，即可求得函數(shù)的最小值；
（Ⅱ）構造函數(shù)F(x)=

x+1

ex

-1，證明函數(shù)F（x）在（0，+∞）上單調遞減，即可證得結論；
（Ⅲ）h（x）=（x²+x）g′（x）=

x+1

ex

（1-x-xlnx），證明p（x）=1-x-xlnx取得最大值1+

1

e2

，即可得到結論．

解答：（Ⅰ）解：設x＞0，則

1

x

＞0
∵2f（x）+f（

1

x

）=(2x-

1

x

)lnx，①
∴2f（

1

x

）+f（x）=（x-

2

x

）lnx，②
①×2-②得：3f（x）=3xlnx，∴f（x）=xlnx
由f′（x）=lnx+1=0，可得x=

1

e

由f′（x）=lnx+1＞0，可得x＞

1

e

；由f′（x）=lnx+1＜0，可得0＜x＜

1

e

∴函數(shù)在（0，

1

e

）上單調遞減，在（

1

e

，+∞）上單調遞增
∴x=

1

e

時，函數(shù)取得最小值-

1

e

；
（Ⅱ）證明：構造函數(shù)F(x)=

x+1

ex

-1，則F′（x）=-

x

ex

∵x∈（0，+∞），∴F′（x）＜0
∴函數(shù)F（x）在（0，+∞）上單調遞減
∴F（x）＜F（0）=0
∴?x∈（0，+∞），

x+1

ex

＜1；
（Ⅲ）證明：∵g（x）=

x+f(x)

xex

，∴g′（x）=

1-x-xlnx

xex

∴h（x）=（x²+x）g′（x）=

x+1

ex

（1-x-xlnx），
令p（x）=1-x-xlnx，則p′（x）=-lnx-2
由p′（x）＞0，可得0＜x＜

1

e2

；由p′（x）＜0，可得x＞

1

e2

，
∴函數(shù)p（x）在（0，

1

e2

）上單調遞增，在（

1

e2

，+∞）上單調遞減
∴x=

1

e2

時，p（x）取得最大值1+

1

e2

∵1+

1

e2

＜

4

3

，

x+1

ex

＜1
∴h（x）＜

4

3

•

x+1

ex

＜

4

3

．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性，考查函數(shù)的最值，考查不等式的證明，解題的關鍵是構造函數(shù)，確定函數(shù)的單調性．