Question

（2012•大連模擬）一個口袋內(nèi)有n（n＞3）個大小相同的球，其中有3個紅球和（n-3）個白球．已知從口袋中隨機取出一個球是紅球的概率是p．
（I）當p=

3

5

時，不放回地從口袋中隨機取出3個球，求取到白球的個數(shù)ξ的期望Eξ；
（II）若6p∈N，有放回地從口袋中連續(xù)地取四次球（每次只取一個球），在四次摸球中恰好取到兩次紅球的概率大于

8

27

，求p和n．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)p=

3

5

，可知5個球中有2個白球，故白球的個數(shù)ξ可取0，1，2，求出相應(yīng)的概率，即可求得期望，或依題意ξ服從參數(shù)為N=5，M=2，n=3的超幾何分布，可求期望；
（II）根據(jù)有放回地從口袋中連續(xù)地取四次球（每次只取一個球），在四次摸球中恰好取到兩次紅球的概率大于

8

27

建立不等式

C

2 4

p2(1-p)2＞

8

27

，從而可求求p和n．

解答：解：（I）p=

3

5

⇒

3

n

=

3

5

⇒n=5，所以5個球中有2個白球
故白球的個數(shù)ξ可取0，1，2．（1分）
p(ξ=0)=

C 3 3

C 3 5

=

1

10

，p(ξ=1)=

C 2 3 C 1 2

C 3 5

=

3

5

，p(ξ=2)=

C 1 3 C 2 2

C 3 5

=

3

10

．（4分）
Eξ=

1

10

×0+

3

5

×1+

3

10

×2=

6

5

．（6分）
（另解：依題意ξ服從參數(shù)為N=5，M=2，n=3的超幾何分布，所以Eξ=

2

5

×3=

6

5

．
（II）由題設(shè)知，

C

2 4

p2(1-p)2＞

8

27

，（8分）
因為p（1-p）＞0，所以不等式可化為p(1-p)＞

2

9

，
解不等式得，

1

3

＜p＜

2

3

，即2＜6p＜4．（10分）
又因為6p∈N，所以6p=3，即p=

1

2

，
所以p=

1

2

，所以

3

n

=

1

2

，所以n=6．（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查解不等式，解題的關(guān)鍵是明確變量的取值與含義．