Question

設函數(shù)f（x）=|x+a+1|+|x+a-1|的圖象關于y軸對稱，函數(shù)g（x）=-x³+bx²+cx（b為實數(shù)，c為正整數(shù)）有兩個不同的極值點A、B，且A、B與坐標原點O共線：
（1）求f（x）的表達式；
（2）試求b的值；
（3）若x≥0時，函數(shù)g（x）的圖象恒在函數(shù)f（x）圖象的下方，求正整數(shù)c的值．

Answer 1

分析：（1）因為函數(shù)f（x）=|x+a+1|+|x+a-1|的圖象關于y軸對稱，所以f（-1）=f（1），由此列方程即可解得a的值
（2）因為函數(shù)g（x）=-x³+bx²+cx（b為實數(shù)，c為正整數(shù)）有兩個不同的極值點A、B，故先求此函數(shù)的導函數(shù)g′（x），由g′（x）=0得A、B的橫坐標，而A、B與坐標原點O共線，由OA與OB的斜率相等，列方程即可解得b的值
（3）先研究函數(shù)f（x）的性質，由絕對值三角不等式可得其最小值為2，再研究函數(shù)g（x）的性質，利用導數(shù)得函數(shù)g（x）在[0，+∞）上在x=

c 3

處取得最大值，最后由函數(shù)g（x）的圖象恒在函數(shù)f（x）圖象的下方，列不等式即可解得c的范圍，因為c為正整數(shù)，可求c值

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）的圖象關于y軸對稱，
∴f（-1）=f（1），即|a+2|=|a-2|，
解得a=0，
∴f（x）=|x+1|+|x-1|
（2）設x₁、x₂是函數(shù)g（x）的兩個極值點，
則x₁、x₂是方程g′（x）=-3x²+2bx+c=0的兩個不等實根，
則△=4b²+12c＞0（c為正整數(shù)）
∴x1+x2=

2b

3

又∵A、O、B三點共線
∴

- x 3 1 +b x 2 1 +cx1

x1

=

- x 3 2 +b x 2 2 +cx2

x2

即（x₁-x₂）[-（x₁+x₂）+b]=0，又∵x₁≠x₂，
∴b=x1+x2=

2b

3

，
∴b=0
（3）∵f（x）=|x+1|+|x-1|≥|（x+1）+（1-x）|=2
∴f_min（x）=f（1）=2
∵x≥0時函數(shù)g（x）的圖象恒在函數(shù)f（x）圖象的下方
∴f（1）＞g（1），即2＞c-1
∴0＜c＜3，∴0＜

c 3

＜1，
又∵g（x）=-x³+cx，令g′（x）=-3x²+c=0，x=±

c 3

∴g（x）在[0，

c 3

）上單調遞增，在（

c 3

，+∞）上單調遞減
且g(

c 3

)=(

c 3

)3+c×

c 3

=

2c

3

×

c 3

=

4c3 27

＜

4×33 27

=2
即g（x）在[0，+∞）上的最大值小于函數(shù)f（x）的最小值f（1）=2
∴0＜c＜3即可使函數(shù)g（x）的圖象恒在函數(shù)f（x）圖象的下方
又∵c為正整數(shù)
∴c=1或2

點評：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性（對稱性），函數(shù)的極值與導數(shù)的關系，導數(shù)在函數(shù)單調性和最值中的應用，不等式恒成立問題的解法