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12.已知函數(shù)f(x)=sin(\frac{7π}{6}-2x)+2{cos^2}x-1
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-\frac{π}{2},\frac{π}{12}]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)在△ABC中,三內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(A,\frac{1}{2}),b、a、c成等差數(shù)列,且△ABC的面積為\frac{{9\sqrt{3}}}{2},求a的值.

分析 (Ⅰ)利用和差角公式和二倍角公式化簡函數(shù)的解析式,進(jìn)而根據(jù)x∈[-\frac{π}{2},\frac{π}{12}],求出相位角的范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得函數(shù)f(x)在區(qū)間[-\frac{π}{2},\frac{π}{12}]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)由題意易得A=\frac{π}{3},ac=18,由余弦定理可得a2=(b+c)2-2bc-\sqrt{3}bc,解關(guān)于a的方程可得答案.

解答 解:(Ⅰ)函數(shù)f(x)=sin(\frac{7π}{6}-2x)+2{cos^2}x-1
=-\frac{1}{2}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+cos2x=\frac{1}{2}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x=sin(2x+\frac{π}{6});
當(dāng)x∈[-\frac{π}{2},\frac{π}{12}]時,2x+\frac{π}{6}∈[-\frac{5π}{6},\frac{π}{3}],
當(dāng)2x+\frac{π}{6}=-\frac{π}{2}時,函數(shù)f(x)取最小值-1,
當(dāng)2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{3}時,函數(shù)f(x)取最大值\frac{\sqrt{3}}{2},
(Ⅱ)令sin(2A+\frac{π}{6})=\frac{1}{2},則A=kπ,或A=\frac{π}{3}+kπ,k∈Z,
∵A為三角形內(nèi)角,故A=\frac{π}{3}
∵b、a、c成等差數(shù)列,
∴2a=b+c,
∴△ABC的面積S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{\sqrt{3}}{4}bc=\frac{{9\sqrt{3}}}{2},
解得bc=18,
由余弦定理可得a2=b2+c2-2bcsinA,
∴a2=(b+c)2-2bc-\sqrt{3}bc,
∴a2=(2a)2-18(2+\sqrt{3}),
解得a=3+\sqrt{3}

點(diǎn)評 本題考查等差數(shù)列,涉及三角形的面積公式和余弦定理,屬中檔題.

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