Question

曲線N：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

1

2

．
（1）求曲線N；
（2）過點(diǎn)T（-1，0）作直線l與曲線N交于A、B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一點(diǎn)E（x₀，0），使得△ABE是等邊三角形，若存在，求出x₀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)F（

1

4

，0）為拋物線的焦點(diǎn)，x=-

1

4

為其準(zhǔn)線，
∴p=

1

2

，
∴曲線N：y²=x（3分）
（2）依題意知，直線的斜率存在，且不等于0．
設(shè)直線l：y=k（x+1），k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y=k(x+1) y2=x

消y整理，得k²x²+（2k²-1）x+k²=0①
由直線和拋物線交于兩點(diǎn)，得△=（2k²-1）²-4k⁴=-4k²+1＞
0即0＜k2＜

1

4

②（5分）
由韋達(dá)定理，得：x1+x2=-

2k2-1

k2

，x₁x₂=1．
∴y1+y2=

1

k

則線段AB的中點(diǎn)為(-

2k2-1

2k2

，

1

2k

)．（8分）
線段的垂直平分線方程為：y-

1

2k

=-

1

k

(x-

1-2k2

2k2

)
令y=0，得x0=

1

2k2

-

1

2

，則E(

1

2k2

-

1

2

，0)（10分）
∵△ABE為正三角形，
∴E(

1

2k2

-

1

2

，0)到直線AB的距離d為

3

2

|AB|．（11分）
又∵|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1-4k2

k2

•

1+k2

d=

1+k2

2|k|

∴

3 1-4k2

2k2

•

1+k2

=

1+k2

2|k|

解得k=±

39

13

滿足②式（13分）
此時x0=

5

3

．（14分）