Question

（2013•天津）如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，
AA₁=AB=2，E為棱AA₁的中點．
（Ⅰ）證明B₁C₁⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B₁-CE-C₁的正弦值．
（Ⅲ）設點M在線段C₁E上，且直線AM與平面ADD₁A₁所成角的正弦值為

2

6

，求線段AM的長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可知，AD，AB，AA₁兩兩互相垂直，以a為坐標原點建立空間直角坐標系，標出點的坐標后，求出

B1C1

和

CE

，由

B1C1

•

CE

=0得到B₁C₁⊥CE；
（Ⅱ）求出平面B₁CE和平面CEC₁的一個法向量，先求出兩法向量所成角的余弦值，利用同角三角函數(shù)基本關系求出其正弦值，則二面角B₁-CE-C₁的正弦值可求；
（Ⅲ）利用共線向量基本定理把M的坐標用E和C₁的坐標及待求系數(shù)λ表示，求出平面ADD₁A₁的一個法向量，利用向量求線面角的公式求出直線AM與平面ADD₁A₁所成角的正弦值，代入

2

6

求出λ的值，則線段AM的長可求．

解答：（Ⅰ）證明：以點A為原點建立空間直角坐標系，如圖，
依題意得A（0，0，0），B（0，0，2），C（1，0，1），B₁（0，2，2），C₁（1，2，1），E（0，1，0）．
則

B1C1

=(1，0，-1)，

CE

=(-1，1，-1)，
而

B1C1

•

CE

=(1，0，-1)•(-1，1，-1)=0．
所以B₁C₁⊥CE；
（Ⅱ）解：

B1C

=(1，-2，-1)，
設平面B₁CE的法向量為

m

=(x，y，z)，
則

m • B1C =0 m • CE =0

，即

x-2y-z=0 -x+y-z=0

，取z=1，得x=-3，y=-2．
所以

m

=(-3，-2，1)．
由（Ⅰ）知B₁C₁⊥CE，又CC₁⊥B₁C₁，所以B₁C₁⊥平面CEC₁，
故

B1C1

=(1，0，-1)為平面CEC₁的一個法向量，
于是cos＜

m

，

B1C1

＞=

m • B1C1

| m |•| B1C1 |

=

-4

14 × 2

=-

2 7

7

．
從而sin＜

m

，

B1C1

＞=

1-(- 2 7 7 )2

=

21

7

．
所以二面角B₁-CE-C₁的正弦值為

21

7

．
（Ⅲ）解：

AE

=(0，1，0)，

EC1

=(1，1，1)，
設

EM

=λ

EC1

=(λ，λ，λ) 0≤λ≤1，
有

AM

=

AE

+

EM

=(λ，λ+1，λ)．
取

AB

=(0，0，2)為平面ADD₁A₁的一個法向量，
設θ為直線AM與平面ADD₁A₁所成的角，
則sinθ=|cos＜

AM

，

AB

＞|=

| AM • AB |

| AM |•| AB |

=

2λ

λ2+(λ+1)2+λ2 ×2

=

λ

3λ2+2λ+1

．
于是

λ

3λ2+2λ+1

=

2

6

．
解得λ=

1

3

．所以|AM|=|

AM

|=

( 1 3 )2+( 4 3 )2+( 1 3 )2

=

2

．
所以線段AM的長為

2

．

點評：本題考查了直線與平面垂直的性質，考查了線面角和二面角的求法，運用了空間向量法，運用此法的關鍵是建立正確的空間坐標系，再就是理解并掌握利用向量求線面角及面面角的正弦值和余弦值公式，是中檔題．