【題目】已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn，并證明：1≤Tn<.

【答案】(1) an＝3n－1.

(2) . 證明見解析.

【解析】分析：(1)由遞推關(guān)系式可得{an}是以3為公比的等比數(shù)列．且首項(xiàng)為1，則其通項(xiàng)公式為an＝3n－1.

(2)由題意可得，錯(cuò)位相減可得，據(jù)此結(jié)合的單調(diào)性即可證得題中的結(jié)論.

詳解： (1)由an＋1＝2Sn＋1，得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，

兩式相減得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，

故an＋1＝3an(n≥2)，

所以當(dāng)n≥2時(shí)，{an}是以3為公比的等比數(shù)列．

因?yàn)?/span>a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3，＝3，

所以{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，an＝3n－1.

(2)由(1)知an＝3n－1，故bn＝log3an＋1＝log33n＝n，＝＝n·，

Tn＝1＋2×＋3×＋4×＋…＋n×，①

Tn＝1×＋2×＋3×＋…＋(n-1)×+ n×，②

①－②，得Tn＝1＋＋,

所以Tn＝－(＋n). 因?yàn)?/span>(＋n) >0， 所以Tn＝－(＋n)<.

又因?yàn)?/span>Tn＋1－Tn＝>0，所以數(shù)列{Tn}單調(diào)遞增，所以(Tn)min＝T1＝1，所以1≤Tn<.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1．證明：
（1） ；
（2） ．

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【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到直線的距離的比值為常數(shù)，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.

(1)求曲線的方程；

(2)若直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn)， ，直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn) ，且，求以， ， ， 為頂點(diǎn)的凸四邊形的面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，短軸長為.

(1)求橢圓的方程；

(2)設(shè)， 是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，連接交橢圓于另一點(diǎn)，證明直線與軸相交于定點(diǎn)；

(3)在(2)的條件下，過點(diǎn)的直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，⊥底面，是的中點(diǎn)．

已知，，，.求：

(1)三棱錐PABC的體積；

(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是拋物線： （）上一點(diǎn)， 是拋物線的焦點(diǎn)， 且.

（1）求拋物線的方程；

（2）已知 ，過 的直線 交拋物線 于 、 兩點(diǎn)，以 為圓心的圓 與直線 相切，試判斷圓 與直線 的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，數(shù)列滿足，，其前9項(xiàng)和為63.

(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

(2)令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意正整數(shù)n，都有，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線及點(diǎn).

（1）求經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行的直線方程；

（2）求經(jīng)過點(diǎn)，且傾斜角為直線的傾斜角的倍的直線方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，長方體ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=2 ，AD=2 ，AA′=2，

（Ⅰ）求異面直線BC′ 和AD所成的角；

（Ⅱ）求證：直線BC′∥平面ADD′A′．

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