Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-2x+5，
（1）若函數(shù)f（x）在（-，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的值；
（2）是否存在實數(shù)a，使得f（x）在（-2，）上單調(diào)遞減，若存在，試求a的取值范圍；若不存在，請說明理由；
（3）若a=-，當(dāng)x∈（-1，2）時不等式f（x）＜m有解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=3x²+2ax-2，
∵函數(shù)f（x）在（-，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=1是方程f′（x）=0的根，解得a=- …..（3分）
（2）由題意得：f′（x）=3x²+2ax-2≤0在（-2，）上恒成立，
∴，∴，∴ …..（7分）
（3）當(dāng)a=-時，f（x）=x³-x²-2x+5，，
由f′（x）=0得x=-或1
列表：

x	-1	（-1，-）	-	（-，1）	1	（1，2）	2
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）							7

∴x∈（-1，2）時，f（x）的最小值為，此時x=1
欲使不等式f（x）＜m有解，只需m≥[f（x）]_min=
∴實數(shù)m的取值范圍為[，+∞）． …（12分）
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）在（-，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，可得x=1是方程f′（x）=0的根，從而可求實數(shù)a的值；
（2）由題意得：f′（x）=3x²+2ax-2≤0在（-2，）上恒成立，由此可實數(shù)a的取值范圍；
（3）求導(dǎo)函數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)x∈（-1，2）時，f（x）的最小值，欲使不等式f（x）＜m有解，只需m≥[f（x）]_min，從而可求實數(shù)m的取值范圍．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查恒成立問題，考查函數(shù)的最值，區(qū)分恒成立與有解是解題的關(guān)鍵．