(08年上虞市質(zhì)量調(diào)測(cè)二理) 雙曲線的離心率為,A,B兩點(diǎn)在雙曲線上,且,線段AB的垂直平分線過(guò)點(diǎn)Q(4,0).

   (I)設(shè)線段AB的中點(diǎn)為,求的值;

   (II)是否存在直線AB,使^? 請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

解析:(Ⅰ)e=,故a=b,設(shè)雙曲線方程為

線段AB的垂直平分線過(guò)點(diǎn)Q(4,0),故

=

+=0

A,B在雙曲線上,故

,得=0

于是=4, =2.

(Ⅱ)法一:,(k2-1)x2+2ktx+t2+a2=0.

==4,  kt=-2(k2-1)

^,故=0,

得(1+k2)(t2+a2)-8(k2-1)2+t2=0

2k2t2+k2a2+a2=8(k2-1)2

k2a2+a2=0,無(wú)解。即不存在是否存在直線AB,使^。

法二:雙曲線的漸近線方程為y=±x,若A,B在雙曲線的同一支上,則∠AOB<90º;

若A,B在雙曲線的不同一支上,則∠AOB>90º.不存在是否存在直線AB,使^。

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