Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（a_n+2，S_n+1）在直線y=4x-5上，其中n∈N^*．令b_n=a_n+1-2a_n．且a₁=1．求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；若f（x）=b₁x+b₂x²+b₃x³+…+b_nxⁿ，計(jì)算f′（1）的結(jié)果．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點(diǎn)的坐標(biāo)代入到直線解析式中得到s_n+1，推出s_n，相減得到a_n+1=4a_n-4a_n-1∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）（n≥2）根據(jù)b_n=a_n+1-2a_n．且a₁=1得到{b_n}是公比為2的等比數(shù)列寫出通項(xiàng)公式即可；
（2）因?yàn)閒（x）=b₁x+b₂x²+b₃x³+…+b_nxⁿ，求出f′（x），則f′（1）=b₁+2b₂+…+nb_n，由（1）知f′（1）是{n•2ⁿ⁺¹}的前n項(xiàng)和，利用錯(cuò)位相減法得到即可．
解答：解：（1）依題意可得s_n+1=4（a_n+2）-5=4a_n+3
∴當(dāng)n≥2時(shí)，s_n=4a_n-1+3，
兩式相減得a_n+1=4a_n-4a_n-1∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）（n≥2）即b_n=2b_n-1（n≥2）
∴{b_n}是公比為2的等比數(shù)列，又b₁=a₂-2a₁=4
∴b_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹
（2）f（x）=b₁x+b₂x²+…+b_nxⁿ
∴f′（x）=b₁+2b₂x+…+nb_nx^n-1
∴f′（1）=b₁+2b₂+…+nb_n
由（1）解知f′（1）=2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹
∴f′（1）是{n•2ⁿ⁺¹}的前n項(xiàng)和，
錯(cuò)位相減法得f′（1）=4+（n-1）•2ⁿ⁺²
點(diǎn)評(píng)：利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式的能力，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的能力．